فرایند نقطه‌ای

در نظریه احتمالات، آمار، فرایند نقطه‌ای (Point Process) یا «میدان تصادفی نقطه‌ای» (Point Field) عبارتست از مجموعه‌ای از نقاط ریاضی که به صورت تصادفی در زمان (نیم‌خط حقیقی)، یا یک فضای ریاضی زمینه پیوسته، از قبیل اعداد حقیقی، صفحه دکارتی، یا فضاهای انتزاعی جای می‌گیرند. پروسه‌های نقطه‌ای می‌توانند به عنوان مدل‌های ریاضی برای رویدادها (یا اشیائی) باشند که به صورت نقطه‌هایی در بعضی انواع فضاها (فضاهای پیوسته مثل زمان و فضای فیزیکی) قابل نمایش باشند.^[۱]^[۲]

تابع شدت (CIF) برای یک فرآیند نقطه‌ای

فرآیند نقطه‌ای را می‌توان بطور کامل توسط تابعی بنام تابع شدت (Intensity)، یا تابع شدت شرطی (Conditional Intensity Function یا CIF)، مشخص (کاراکترایز) کرد: تابع شدت یا تابع شدت شرطی $\lambda (t|H_{t})$ ، برای یک فرآیند نقطه‌ای روی نیم‌خط حقیقی نسبت به پالایش (فیلتراسیون) یا $H_{t}$ به صورت زیر تعریف می‌شود:

\lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr({\text{One event occurs in the time-interval}}\,[t,t+\Delta t]\mid H_{t}),

که در داخل نماد احتمال (Pr) برای «یک رویداد در بازه زمانی $[t,t+\Delta t]$ رخ می‌دهد» است.

خاصیت شرطی بودن، در تابع شدت شرطی، معنایی شبیه احتمال شرطی دارد، که دلالت بر وابستگی تابع شدت به متغیر های دیگری (زمان، متغیر های بیرونی، و خود پروسه در گذشته) دارد. بخش شرطی،‌ وابسته به $H_{t}$ را پالایش می‌نامند. این پالایش، می‌تواند شیء ریاضیاتی‌ای باشد که بازنمایی‌ای از زمان‌های رخداد نقطه‌های مقدم بر (قبل از) زمان t را در خود نمایش دهد. بنابراین، یک فرایند نقطه‌ای، می‌تواند وابسته به بخشی از تاریخچه خروجی خود نیز باشد (مثلا تاریخچه تا عمق زمانی خاصی): به شرط اینکه دسترسی به گذشته باشد، مجاز است. این پالایش $H_{t}$ می‌تواند از نوع دیگری باشد، مثلا در فرآیند های کاکس Cox.

تابع شدت شرطی. (CIF)، را می‌توان با نمادگذاری $N(t)$ ، به صورت جمع‌وجور تر نوشت:

\lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr(N(t+\Delta t)-N(t)=1\mid H_{t}).

تابع N(t)، مسیر نمونه (sample path) نام دارد: چرا که مقدار سمپل (نمونه)‌ تصادفی فعلی تولید شده را در طی زمان نشان می‌دهد: N(t) برابر با تعداد نقطه‌های (رویداد) های تولید شده تا قبل از لحظه‌ی زمان t است. بدین ترتیب، یک تابع $N(t):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {Z}$ ، تمام سمپل (نمونه)‌ تصادفی تولید شده در یک را به صورت یکتا و خوش تعریف، بر اساس مفاهیم ساده‌ای مثل تابع و مجموعه های مقدماتی توصیف می‌کند (بدون توسل به تابع دلتای دیراک، با این حال، با حفظ ظرایف تحلیلی بدون کم کردن دقت و کلیت).

مفهوم قدرتمند دیگری که کار ریاضی با CIF را بسیار تسهیل می‌کند، تابع $\Lambda (t)$ است. این تابع، یک جبران‌کننده‌ (compensator)، یا تصویر دوگان-پیش‌بینی‌پذیر (dual-predictable projection) است که برای یک فرآیند نقطه‌ای تعریف می‌شود، که انتگرال تابع شدت شرطی است:

\Lambda (s,u)=\int _{s}^{u}\lambda (t\mid H_{t})\,\mathrm {d} t

رابطه این تابع $\Lambda (t)$ با تابع شدت $\lambda (t)$ ، یادآور نقش تابع تجمعی احتمال در مقایسه با تابع چگالی احتمال است.

این تابع در قضیه «تبدیل تغییر مقیاس زمانی» (Time-Rescaling Transform) کاربرد دارد.

مثال

تابع شدت برای فرآیند پواسن ناهمگن (پواسن با نرخ تغییر کننده)، یکی از مهم ترین مثالی از یک فرآیند نقطه‌ای است: تابع شدت آن به تاریخچه،‌ وابستگی ندارد.

با اعمال یک «تبدیل تغییر مقیاس زمانی» (Time-Rescaling Transform)، که با استفاده از $\Lambda (t)$ تعریف می‌شود، می‌توان هر فرآیند پواسن ناهمگن را به یک فرآیند پواسن ساده استاندارد (با نرخ ثابت ۱) نگاشت کرد: کافیست هر نگاشت هر سمپل / نمونه، اعمال شود. که نشان دهنده‌ی این است که این تابع $\Lambda (t)$ ، جوهره کاراکتر یک پروسه را دربر دارد.

انواع فرایند نقطه‌ای

فرایند نقطه‌ای کاکس Cox

فرایندهای نقطه‌ای کاکس Cox، انواعی از فرآیند های نقطه‌ای هستند که تعمیمی از پواسن محسوب می‌شوند، که بر اساس تعمیم $\Lambda (\cdot )$ به روی فضاهای کلی تر تعریف می‌شوند. در این حالت تعمیم یافته، تابع $\lambda (\cdot )$ توسط مشتق‌گیری به سبک Radon–Nikodym derivative (مفهومی در نظریه اندازه) تعریف می‌شود. تابع $\Lambda (\cdot )$ ، «اندازه‌ی شدت» یا (Intensity Measure)، و $\lambda (\cdot )$ «میدان شدت» (Intensity Field) برای یک پروسه کاکس خوانده می‌شود.

در این تعمیم، این توابع و پروسه ها، بجای نیم خط (زمان) یا فضا، بر روی هر زیر مجموعه‌های کراندار B (تکه‌های فضا) روی میدان مورد نظر تعریف می‌شود، که تعمیمی از بازه $[u,v]$ روی فضاهای تعمیم یافته است.

$\xi (B)$ به معنای بخشی از پروسه که در تکه مورد نظر (B) قرار دارد، و $\Lambda (B)$ بخشی از گذشته است که به ان وابستگی دارد. یعینی پروسه، نقطه‌ای، فقط وابسته به $\Lambda (B)$ است (تنها وابستگی آن به/ تابع $\Lambda (B)$ بودن است).

خاصیت دوم، استقلال بین رفتار پروسه در افراز‌ها یا تکه‌های آن میدان پیوسته ای که محل وقوع نقاط مورد نظر است: چنانچه تکه‌های $B_{i}$ ،‌محموعه هایی جدا از هم باشند، $\xi (B)$ ها (پروسه‌های جدایی که با جدا کردنِ هر کدام تعریف می‌شود)، مستقل-مشروط از هم می‌شوند، با داده شدن $\Lambda (B_{i})$ ها. در این صورت، کل پروسه $\xi (B)$ روی کل فضا، یک پروسه از نوع کاکس Cox خواهد بود.

به عبارت دیگر

B_{1}\cap B_{2}=\varnothing \Longrightarrow \xi (B_{1}|\Lambda (B_{1}))\perp \xi (B_{1}|\Lambda (B_{1}))

میدان شدت. توجه شود که اندازه شدت (Intensity measure)، حالتی از اندازه تصادفی(random measure) است، که روی یک فضای اندازه(Measure space) تعریف می‌شود، که خودش حاصل تعریف یک اندازه، روی یک فضای اندازه پذیر(measurable space، یا فضای بورِل) تعریف می‌شود.

کاربردها

زمینه‌های کاربردی فرایند نقطه‌ای در تعیین فواصل زمانی تصادفی است. مثل ورود مشتری به یک فروشگاه، ضربان‌های سلول عصبی. مکان‌یابی درخت‌های یک بیشه.^[۳] فرایند نقطه‌ای در علوم زیر کاربرد گسترده‌ای دارد:

بوم‌شناسی
جغرافی
واگیرشناسی
زلزله‌شناسی
مواد
نجوم
مخابرات
عصب سنجی
اقتصاد

محاسبات

تفاوت بین فرایند نقطه‌ای و فرایند تصادفی در این است که فرایند نقطه‌ای در یک فضای خاص تعریف می‌شود. فضای حالت بیان کننده فضا یا مجموعه مقدارهایی است که متغیر تصادفی مربوط به فرایند تصادفی خواهد داشت. مثلاً دربارهٔ تاس، فضای حالت ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ است. پرکاربردترین روش فرایند نقطه‌ای، توزیع پواسن می‌باشد.

جستارهای وابسته

منابع

↑ Kallenberg, O. (1986). Random Measures, 4th edition. Academic Press, New York, London; Akademie-Verlag, Berlin. شابک ‎۰−۱۲−۳۹۴۹۶۰−۲, MR 854102.
↑ Daley, D.J, Vere-Jones, D. (1988). An Introduction to the Theory of Point Processes. Springer, New York. شابک ‎۰−۳۸۷−۹۶۶۶۶−۸, MR 950166.
↑ Last, G., Brandt, A. (1995).Marked point processes on the real line: The dynamic approach. Probability and its Applications. Springer, New York. شابک ‎۰−۳۸۷−۹۴۵۴۷−۴, MR 1353912

[Kal86-1] Kallenberg, O. (1986). Random Measures, 4th edition. Academic Press, New York, London; Akademie-Verlag, Berlin. شابک ‎۰−۱۲−۳۹۴۹۶۰−۲, MR 854102.

[DVJ88-2] Daley, D.J, Vere-Jones, D. (1988). An Introduction to the Theory of Point Processes. Springer, New York. شابک ‎۰−۳۸۷−۹۶۶۶۶−۸, MR 950166.

[LB95-3] Last, G., Brandt, A. (1995).Marked point processes on the real line: The dynamic approach. Probability and its Applications. Springer, New York. شابک ‎۰−۳۸۷−۹۴۵۴۷−۴, MR 1353912

[۱]

[۲]

[۳]

فرایندهای تصادفی
فرایند تصادفی	فرایند برنولی فرایند شاخه‌ای فرایند رستوران چینی فرایند گالتون-واتسون متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان زنجیره مارکوف فرایند مورن ولگشت Loop-erased ولگشت خودپرهیز (قدم زدن بدون قطع کردن خود)
Continuous time	Bessel process Birth–death process فرایند وینر Bridge Excursion Fractional Geometric Meander فرایند کوشی Contact process گام-تصادفی زمان-پیوسته Cox process Diffusion process Empirical process فرایند فلر فرایند فلمینگ-ویوت Gamma process Hunt process Interacting particle systems Itô diffusion فرایند ایتو Jump diffusion Jump process فرایند لوی Local time Markov additive process McKean–Vlasov process فرایند اورنستین-یولنبک فرایند پواسون Compound فرایند پواسون فرایند پواسون تحول شرام و لونر Semimartingale Sigma-martingale Stable process Superprocess Telegraph process Variance gamma process فرایند وینر Wiener sausage
Both	فرایند شاخه‌ای Galves–Löcherbach model فرایند گاوسی مدل پنهان مارکف زنجیره مارکوف مارتینگیل Differences Local مارتینگیل مارتینگیل Random dynamical system Regenerative process نظریه تجدید Stochastic chains with memory of variable length نویز سفید
Fields and other	فرایند دیریکله Gaussian random field Gibbs measure شبکه هاپفیلد مدل آیزینگ Potts model شبکه بولی میدان تصادفی مارکفی نظریه تراوش فرایند پیتمن-یور فرایند نقطه ای Cox فرایند پواسون میدان تصادفی گراف تصادفی
سری زمانی	واریانس ناهمسانی شرطی اتورگرسیو میانگین متحرک خودهمبسته یکپارچه مدل خودهمبسته مدل خودهمبسته میانگین متحرک واریانس ناهمسانی شرطی اتورگرسیو مدل میانگین متحرک
Financial models	مدل بلک-درمن-توی Black–Karasinski مدل بلک-شولز مدل چن Constant elasticity of variance (CEV) مدل کاکس-اینگرسول-راس Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility مدل واسیچک Wilkie
بیمسنجی	Bühlmann Cramér–Lundberg Risk process Sparre–Anderson
نظریه صفs	Bulk Fluid Generalized queueing network M/G/1 صف M/M/1 M/M/c
Properties	تابع Càdlàg Continuous Continuous paths ارگادیسیتی متغیرهای تصادفی تعویض پذیر Feller-continuous فرآیندهای تصادفی گاوسی-مارکوف خاصیت مارکف Mixing Piecewise deterministic Predictable Progressively measurable Self-similar فرایند مانا Time-reversible
Limit theorems	قضیه حد مرکزی Donsker's theorem Doob's martingale convergence theorems نظریه ارگودیک Fisher–Tippett–Gnedenko theorem Large deviation principle قانون اعداد بزرگ قانون لگاریتم‌های تکراری Maximal ergodic theorem Sanov's theorem
Inequalities	Burkholder–Davis–Gundy Doob's martingale Kunita–Watanabe
Tools	Cameron–Martin formula همگرایی متغیرهای تصادفی Doléans-Dade exponential Doob decomposition theorem Doob–Meyer decomposition theorem Doob's optional stopping theorem Dynkin's formula Feynman–Kac formula Filtration Girsanov theorem Infinitesimal generator Itô integral Itô's lemma Kolmogorov continuity theorem Kolmogorov extension theorem Lévy–Prokhorov metric Malliavin calculus Martingale representation theorem Optional stopping theorem Prokhorov's theorem Quadratic variation Reflection principle Skorokhod integral Skorokhod's representation theorem تابع Càdlàg Snell envelope معادله دیفرانسیل تصادفی Tanaka زمان توقف Stratonovich integral Uniform integrability Usual hypotheses Wiener space Classical Abstract
Disciplines	بیمسنجی اقتصادسنجی نظریه ارگودیک نظریه مقدار حدی قضیه انحرافات بزرگ مالیه ریاضیاتی آمار ریاضی نظریه احتمالات نظریه صف نظریه تجدید Ruin theory آمار حسابان تصادفی سری زمانی یادگیری ماشین
List of topics