معادله زمان

معادله زمان: در بالای محور، ساعت آفتابی نسبت به ساعتی که زمان متوسط محلی را نشان می‌دهد، جلوتر است و در زیر محور، ساعت آفتابی عقب‌تر است.

این نمودار نشان می‌دهد که ساعت چند دقیقه از خورشید ظاهری جلو (+) یا عقب (−) است. بخش «نمادگذاری» را در زیر ببینید.

معادله زمان اختلاف بین دو نوع زمان خورشیدی را توصیف می‌کند. این دو زمان که با هم تفاوت دارند عبارتند از زمان خورشیدی ظاهری که مستقیماً حرکت روزانه خورشید را دنبال می‌کند، و زمان خورشیدی متوسط که یک خورشید متوسط نظری با حرکت یکنواخت در امتداد استوای سماوی را دنبال می‌کند. زمان خورشیدی ظاهری را می‌توان با اندازه‌گیری موقعیت فعلی (زاویه ساعتی خورشیدی) خورشید به دست آورد، همان‌طور که (با دقت محدود) توسط یک ساعت آفتابی نشان داده می‌شود. زمان خورشیدی «متوسط» برای همان مکان، زمانی است که توسط یک ساعت دقیق نشان داده می‌شود که به‌گونه‌ای تنظیم‌شده که در طول سال، میانگین تفاوت‌های آن با زمان خورشیدی ظاهری برابر با صفر باشد.

معادله زمان، مولفه شرقی یا غربی آنالما است؛ منحنی‌ای که نشان‌دهنده انحراف زاویه‌ای خورشید از موقعیت متوسط آن در کره آسمان از دید ناظر زمینی است. مقادیر معادله زمان برای هر روز از سال که توسط رصدخانه‌های نجومی گردآوری شده‌اند، به‌طور گسترده در سالنماها و جدول‌های نجومی فهرست می‌شدند.

معادله زمان را می‌توان با مجموع دو موج سینوسی تقریب زد:

$\Delta t_{ey}=-7.659\sin(D)+9.863\sin \left(2D+3.5932\right)$ [دقیقه]

که در آن:

$D=6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365.25(y-2000)+d)$

که در آن $d$ نشان‌دهنده تعداد روزهای سپری‌شده از ۱ ژانویه سال جاری، $y$ است.

مفهوم

ساعتی با صفحه کمکی که معادله زمان را نمایش می‌دهد. پیازا دانته، ناپل (۱۸۵۳)

در طول یک سال، معادله زمان همان‌طور که در نمودار نشان داده‌شده است، تغییر می‌کند؛ تغییر آن از یک سال به سال بعد اندک است. زمان خورشیدی و ساعت آفتابی می‌توانند تا ۱۶ دقیقه و ۳۳ ثانیه جلوتر (سریع‌تر) از زمان متوسط (حدود ۳ نوامبر) یا تا ۱۴ دقیقه و ۶ ثانیه عقب‌تر (کندتر) از آن (حدود ۱۱ فوریه) باشند. معادله زمان در نزدیکی ۱۵ آوریل، ۱۳ ژوئن، ۱ سپتامبر و ۲۵ دسامبر به صفر می‌رسد. با صرف‌نظر از تغییرات بسیار کند در مدار و چرخش زمین، این رویدادها در زمان‌های مشابه در هر سال اعتدالی تکرار می‌شوند. با این حال، به دلیل عدد غیرصحیح روزها در یک سال، این تاریخ‌ها می‌توانند از سالی به سال دیگر حدود یک روز تغییر کنند. به عنوان نمونه‌ای از عدم دقت تاریخ‌ها، طبق «سالنمای رایانه‌ای تعاملی چندساله» رصدخانه نیروی دریایی ایالات متحده آمریکا، معادله زمان در ساعت ۰۲: ۰۰ یوتی۱ در ۱۶ آوریل ۲۰۱۱ صفر‌بوده است.

نمودار معادله زمان با مجموع دو منحنی سینوسی، یکی با دوره تناوب یک سال و دیگری با دوره تناوب نیم‌سال، به دقت تقریب زده می‌شود. این منحنی‌ها بازتاب‌دهنده دو اثر نجومی هستند که هر کدام باعث ناهمگونی متفاوتی در حرکت روزانه ظاهری خورشید نسبت به ستارگان می‌شوند:

• مایل بودن دایرةالبروج (صفحه حرکت مداری سالانه زمین به دور خورشید)، که نسبت به صفحه استوای زمین حدود ۲۳. ۴۴ درجه انحراف دارد؛ و
• برون‌مرکزی حرکت انتقالی زمین به دور خورشید، که حدود ۰. ۰۱۶۷ است.

معادله زمان تنها برای سیاره‌ای با انحراف محوری صفر و برون‌مرکزی مداری صفر از بین می‌رود. دو نمونه از سیارات با معادله زمان بزرگ، مریخ و اورانوس هستند. در مریخ، تفاوت بین زمان ساعت آفتابی و زمان ساعت مکانیکی می‌تواند به دلیل برون‌مرکزی بسیار بیشتر مدار آن، تا ۵۰ دقیقه باشد. سیاره اورانوس که انحراف محوری بسیار بزرگی دارد، دارای معادله زمانی است که باعث می‌شود روزهای آن بسته به موقعیتش در مدار، چندین ساعت زودتر یا دیرتر آغاز و پایان یابند.

نمادگذاری

پویانمایی که معادله زمان و مسیر آنالما را در طول یک سال نشان می‌دهد.

رصدخانه نیروی دریایی ایالات متحده آمریکا بیان می‌کند که «معادله زمان، تفاوت زمان خورشیدی منهای زمان خورشیدی متوسط است»، یعنی اگر خورشید جلوتر از ساعت باشد، علامت مثبت است و اگر ساعت جلوتر از خورشید باشد، علامت منفی است. معادله زمان در نمودار بالایی برای دوره‌ای کمی بیش از یک سال نشان داده‌شده است. نمودار پایینی (که دقیقاً یک سال تقویمی را پوشش می‌دهد) دارای مقادیر مطلق یکسانی است اما علامت آن معکوس‌شده است، زیرا نشان می‌دهد که ساعت چقدر جلوتر از خورشید است. نشریات ممکن است از هر دو قالب استفاده کنند: در جهان انگلیسی‌زبان، کاربرد اول رایج‌تر است، اما همیشه رعایت نمی‌شود. هر کسی که از جدول یا نمودار منتشرشده استفاده می‌کند، باید ابتدا کاربرد علامت آن را بررسی کند. اغلب، یادداشت یا زیرنویسی وجود دارد که آن را توضیح می‌دهد. در غیر این صورت، می‌توان با دانستن اینکه در طول سه ماه اول هر سال، ساعت جلوتر از ساعت آفتابی است، کاربرد آن را تعیین کرد. یادیار «NYSS» (تلفظ «نایس»)، برای «سال نو، ساعت آفتابی کند»، می‌تواند مفید باشد. برخی از جداول منتشرشده با عدم استفاده از علامت‌ها و در عوض نمایش عباراتی مانند «ساعت آفتابی سریع» یا «ساعت آفتابی کند»، از ابهام جلوگیری می‌کنند.

تاریخچه

عبارت «معادله زمان» از لاتین قرون وسطی aequātiō diērum گرفته شده است که به معنای «معادله روزها» یا «تفاوت روزها» است. واژه «معادله» در معنای قرون وسطایی «آشتی دادن یک تفاوت» به کار می‌رود. واژه aequātiō (و انگلیسی میانه equation) در اخترشناسی قرون وسطی برای جدول‌بندی تفاوت بین یک مقدار مشاهده‌شده و مقدار مورد انتظار (مانند معادله مرکز، معادله اعتدالین، معادله فلک تدویر) استفاده می‌شد. جرالد تومر از اصطلاح قرون وسطایی «معادله»، از واژه لاتین aequātiō (برابرسازی یا تعدیل)، برای تفاوت بطلمیوس بین زمان خورشیدی متوسط و زمان خورشیدی ظاهری استفاده می‌کند. تعریف یوهانس کپلر از معادله عبارت است از: «تفاوت بین تعداد درجات و دقایق ناهنجاری متوسط و درجات و دقایق ناهنجاری اصلاح‌شده.»

تفاوت بین زمان خورشیدی ظاهری و زمان متوسط از دوران باستان توسط اخترشناسان شناخته شده بود، اما پیش از اختراع ساعت‌های مکانیکی دقیق در اواسط سده هفدهم، ساعت‌های آفتابی تنها زمان‌سنج‌های قابل اعتماد بودند و زمان خورشیدی ظاهری، استاندارد پذیرفته‌شده عمومی بود. زمان متوسط تا اوایل سده نوزدهم جایگزین زمان ظاهری در سالنماها و جداول نجومی ملی نشد.

اخترشناسی اولیه

حرکت نامنظم روزانه خورشید برای بابلیان شناخته شده بود.

کتاب سوم از المجسطی اثر بطلمیوس (سده دوم) عمدتاً به ناهنجاری خورشید می‌پردازد و او معادله زمان را در «جدول‌های دستی» خود فهرست کرده است. بطلمیوس درباره اصلاح لازم برای تبدیل عبور خورشید از نصف‌النهار به زمان خورشیدی متوسط بحث می‌کند و حرکت غیریکنواخت خورشید در امتداد دایرةالبروج و اصلاح نصف‌النهار برای طول جغرافیایی دایرهالبروجی خورشید را در نظر می‌گیرد. او بیان می‌کند که حداکثر اصلاح 8+¹⁄₃ درجه زمانی یا ⁵⁄₉ یک ساعت است (کتاب سوم، فصل ۹). با این حال، او این اثر را برای اکثر محاسبات مرتبط نمی‌دانست، زیرا برای اجرام آسمانی با حرکت کند ناچیز بود و فقط آن را برای سریع‌ترین جرم آسمانی، یعنی ماه، اعمال می‌کرد.

بر اساس بحث بطلمیوس در المجسطی، مقادیر معادله زمان (عربی: taʿdīl al-ayyām bi layālayhā) برای جدول‌ها (زیج) در آثار اخترشناسی در سده‌های میانه اسلامی استاندارد بودند.

دوران مدرن اولیه

توصیفی از زمان ظاهری و متوسط توسط نویل مسکلین در «سالنمای دریایی» برای سال ۱۷۶۷ ارائه شد: «زمان ظاهری، زمانی است که بلافاصله از خورشید استنتاج می‌شود، چه از مشاهده عبور او از نصف‌النهار، یا از طلوع یا غروب مشاهده‌شده او. این زمان با زمانی که توسط ساعت‌ها و ساعت‌های مچی به‌خوبی تنظیم‌شده در خشکی نشان داده می‌شود، متفاوت است که به آن زمان تعدیل‌شده یا متوسط می‌گویند. » او در ادامه گفت که در دریا، زمان ظاهری به‌دست‌آمده از مشاهده خورشید باید توسط معادله زمان اصلاح شود، اگر ناظر به زمان متوسط نیاز‌داشته باشد.

زمان درست در ابتدا همان زمانی در نظر گرفته می‌شد که توسط ساعت آفتابی نشان داده می‌شد. هنگامی که ساعت‌های مکانیکی خوب معرفی شدند، آن‌ها تنها در نزدیکی چهار تاریخ در هر سال با ساعت‌های آفتابی توافق داشتند، بنابراین از معادله زمان برای «اصلاح» خوانش آن‌ها جهت به‌دست آوردن زمان ساعت آفتابی استفاده می‌شد. برخی از ساعت‌ها که ساعت معادله نامیده می‌شوند، شامل یک مکانیسم داخلی برای انجام این «اصلاح» بودند. بعداً، با تبدیل شدن ساعت‌ها به زمان‌سنج‌های اصلی، زمان ساعت اصلاح‌نشده، یعنی «زمان متوسط»، به استاندارد پذیرفته‌شده تبدیل شد. خوانش ساعت‌های آفتابی، هنگامی که استفاده می‌شدند، در آن زمان و اغلب هنوز هم، با معادله زمان اصلاح می‌شوند که در جهت معکوس نسبت به قبل استفاده می‌شود تا زمان ساعت به‌دست آید. بنابراین، بسیاری از ساعت‌های آفتابی دارای جدول‌ها یا نمودارهای معادله زمان هستند که روی آن‌ها حک‌شده است تا به کاربر اجازه دهد این اصلاح را انجام دهد.

معادله زمان به‌طور تاریخی برای تنظیم ساعت‌ها استفاده می‌شد. بین زمان اختراع ساعت‌های دقیق در سال ۱۶۵۶ و ظهور خدمات تجاری توزیع زمان در حدود سال ۱۹۰۰، چندین روش رایج زمینی برای تنظیم ساعت‌ها وجود داشت. ساعت آفتابی خوانده می‌شد و با جدول یا نمودار معادله زمان تصحیح می‌گردید.

اگر یک تلسکوپ ترانزیت در دسترس بود یا دقت اهمیت داشت، عبور خورشید از نصف‌النهار (لحظه‌ای که خورشید دقیقاً در جنوب یا شمال ناظر ظاهر می‌شود، که به آن اوج‌رسی می‌گویند) یادداشت می‌شد؛ سپس ساعت روی ظهر تنظیم‌شده و به اندازه تعداد دقیقه‌هایی که معادله زمان برای آن تاریخ نشان می‌داد، جابه‌جا می‌شد. روش سوم از معادله زمان استفاده نمی‌کرد؛ در عوض، از رصدهای ستاره‌ای برای به‌دست آوردن زمان نجومی استفاده می‌کرد و از رابطه بین زمان نجومی و زمان خورشیدی بهره می‌برد. روش‌های دقیق‌تر، پیش‌درآمدی برای یافتن طول جغرافیایی ناظر نسبت به یک نصف‌النهار مبدأ بودند، مانند آنچه در زمین‌سنجی روی زمین و ناوبری فلکی در دریا انجام می‌شد.

نخستین جدول‌هایی که معادله زمان را به شکلی اساساً صحیح ارائه می‌دادند، در سال ۱۶۶۵ توسط کریستیان هویگنس منتشر شدند. هویگنس، با پیروی از سنت بطلمیوس و اخترشناسان قرون وسطی به‌طور کلی، مقادیر خود را برای معادله زمان به‌گونه‌ای تنظیم کرد که تمام مقادیر در طول سال مثبت باشند. این بدان معنا بود که هر ساعتی که با جدول‌های هویگنس روی زمان متوسط تنظیم می‌شد، به‌طور پیوسته حدود ۱۵ دقیقه نسبت به زمان متوسط امروزی عقب بود.

مجموعه دیگری از جدول‌ها در سال‌های ۱۶۷۲–۱۶۷۳ توسط جان فلمستید منتشر شد که بعدها به نخستین ستاره‌شناس سلطنتی در رصدخانه سلطنتی گرینویچ جدید تبدیل شد. به نظر می‌رسد این‌ها نخستین جدول‌های اساساً صحیحی بودند که معنای امروزی «زمان متوسط» را ارائه می‌دادند (پیش از آن، همان‌طور که در بالا ذکر شد، علامت معادله همیشه مثبت بود و زمانی که زمان ظاهری طلوع خورشید نسبت به زمان ساعتی طلوع خورشید زودتر بود، روی صفر تنظیم می‌شد). فلمستید قرارداد جدول‌بندی و نام‌گذاری تصحیح را به گونه‌ای اتخاذ کرد که باید بر زمان ظاهری اعمال شود تا زمان متوسط به دست آید.

معادله زمان، که به‌درستی بر پایه دو مؤلفه اصلی بی‌نظمی حرکت ظاهری خورشید استوار بود، تا پس از جدول‌های فلمستید در سال‌های ۱۶۷۲–۱۶۷۳ که با نسخه پس از مرگ آثار جرمایا هاروکس منتشر شد، به‌طور عمومی پذیرفته نشد.

رابرت هوک (۱۶۳۵–۱۷۰۳) که مفصل همه‌کاره را از نظر ریاضی تحلیل کرد، نخستین کسی بود که متوجه شد هندسه و توصیف ریاضی معادله زمان (غیرسکولار) و مفصل همه‌کاره یکسان هستند و پیشنهاد استفاده از مفصل همه‌کاره را در ساخت یک «ساعت آفتابی مکانیکی» داد.

سده هجدهم و اوایل سده نوزدهم

تصحیح‌های موجود در جدول‌های فلمستید در سال‌های ۱۶۷۲–۱۶۷۳ و ۱۶۸۰، زمان متوسط را به‌طور اساساً صحیح و بدون نیاز به جابه‌جایی بیشتر محاسبه می‌کردند. اما مقادیر عددی در جدول‌های معادله زمان از آن زمان تاکنون به دلیل سه عامل تا حدودی تغییر کرده‌اند:

• بهبودهای کلی در دقت که ناشی از اصلاحات در تکنیک‌های اندازه‌گیری نجومی بود،
• تغییرات ذاتی و کند در معادله زمان که در نتیجه تغییرات کوچک و بلندمدت در انحراف محوری و خروج از مرکز زمین رخ می‌دهد (که برای مثال بر فاصله و تاریخ‌های اوج و حضیض تأثیر می‌گذارد)، و
• گنجاندن منابع کوچک تغییرات اضافی در حرکت ظاهری خورشید که در سده هفدهم ناشناخته بودند اما از سده هجدهم به بعد کشف شدند، از جمله اثرات ماه (ببینید مرکز سنگینی سراسری)، زهره و مشتری.

یک ساعت آفتابی ساخته‌شده در سال ۱۸۱۲ توسط وایت‌هرست و پسر، با مقیاس دایره‌ای که تصحیح معادله زمان را نشان می‌دهد. این ساعت اکنون در موزه و گالری هنری داربی به نمایش گذاشته شده است.

از سال ۱۷۶۷ تا ۱۸۳۳، نشریه بریتانیایی «سالنمای دریایی و جدول نجومی» معادله زمان را به این مفهوم جدول‌بندی می‌کرد که «تعداد دقیقه‌ها و ثانیه‌های ذکر شده را به زمان ظاهری اضافه یا از آن کم کنید (طبق دستور) تا زمان متوسط به دست آید». زمان‌ها در این سالنما بر اساس زمان خورشیدی ظاهری بودند، زیرا زمان در کشتی‌ها اغلب با رصد خورشید تعیین می‌شد. این عملیات در موارد نادری که زمان خورشیدی متوسط یک رصد مورد نیاز بود، انجام می‌شد. در شماره‌های پس از ۱۸۳۴، تمام زمان‌ها بر اساس زمان خورشیدی متوسط بودند، زیرا تا آن زمان زمان در کشتی‌ها به‌طور فزاینده‌ای توسط کرنومترهای دریایی تعیین می‌شد. در نتیجه، دستورالعمل‌ها به این صورت تغییر کرد که تعداد دقیقه‌های ذکر شده را به زمان متوسط اضافه یا از آن کم کنید (طبق دستور) تا زمان ظاهری به دست آید. بنابراین اکنون جمع کردن با مثبت بودن معادله و تفریق با منفی بودن آن مطابقت داشت.

از آنجا که حرکت روزانه ظاهری خورشید یک دور در روز، یعنی ۳۶۰ درجه در هر ۲۴ ساعت است و خود خورشید به صورت قرصی با قطر حدود ۰٫۵ درجه در آسمان ظاهر می‌شود، ساعت‌های آفتابی ساده را می‌توان با حداکثر دقت حدود یک دقیقه خواند. از آنجا که معادله زمان دامنه‌ای در حدود ۳۳ دقیقه دارد، تفاوت بین زمان ساعت آفتابی و زمان ساعت را نمی‌توان نادیده گرفت. علاوه بر معادله زمان، باید تصحیح‌های مربوط به فاصله از نصف‌النهار منطقه زمانی محلی و ساعت تابستانی (در صورت وجود) را نیز اعمال کرد.

افزایش ناچیز روز خورشیدی متوسط به دلیل کند شدن چرخش زمین، حدود ۲ میلی‌ثانیه در روز در هر سده، که در حال حاضر تا حدود ۱ ثانیه در هر سال انباشته می‌شود، در تعاریف سنتی معادله زمان در نظر گرفته نمی‌شود، زیرا در سطح دقت ساعت‌های آفتابی غیرقابل تشخیص است.

مؤلفه‌های اصلی

خروج از مرکز مدار زمین

معادله زمان (خط قرمز ممتد) و دو مؤلفه اصلی آن که به‌طور جداگانه رسم شده‌اند؛ بخشی که به دلیل انحراف دایرةالبروج است (خط بنفش‌کمرنگ خط‌چین) و بخشی که به دلیل تغییر سرعت ظاهری خورشید در امتداد دایرةالبروج به دلیل خروج از مرکز مدار زمین است (خط آبی تیره خط‌چین و نقطه)

زمین به دور خورشید می‌چرخد. از دید زمین، خورشید به نظر می‌رسد که در طول یک سال یک بار به دور زمین در میان ستارگان پس‌زمینه می‌چرخد. اگر زمین با سرعتی ثابت در مداری دایره‌ای در صفحه‌ای عمود بر محور زمین به دور خورشید می‌چرخید، خورشید هر روز دقیقاً در همان زمان اوج‌رسی می‌کرد و یک زمان‌سنج کامل بود (به جز اثر بسیار کوچک کند شدن چرخش زمین). اما مدار زمین یک بیضی است که خورشید در مرکز آن قرار ندارد و سرعت آن طبق قوانین کپلر بین ۳۰٫۲۸۷ و ۲۹٫۲۹۱ کیلومتر بر ثانیه متغیر است و سرعت زاویه‌ای آن نیز تغییر می‌کند، بنابراین خورشید به نظر می‌رسد که در اوج و حضیض (در حال حاضر حدود ۳ ژانویه) سریع‌تر و نیم سال بعد در اوج و حضیض کندتر حرکت می‌کند.

در این نقاط حدی، این اثر روز خورشیدی ظاهری را تا ۷٫۹ ثانیه در روز نسبت به میانگین آن تغییر می‌دهد. در نتیجه، تفاوت‌های روزانه کوچک‌تر در سرعت در روزهای دیگر تا رسیدن به این نقاط انباشته می‌شوند که نشان‌دهنده نحوه شتاب گرفتن و کند شدن سیاره نسبت به میانگین است.

در نتیجه، خروج از مرکز مدار زمین یک تغییر متناوب ایجاد می‌کند که (در تقریب مرتبه اول) یک موج سینوسی است با:

• دامنه: ۷٫۶۶ دقیقه
• دوره: یک سال
• نقاط صفر: اوج و حضیض (در ابتدای ژانویه) و اوج و حضیض (ابتدای ژوئیه)
• مقادیر حدی: اوایل آوریل (منفی) و اوایل اکتبر (مثبت)

این مولفه از معادله زمان توسط فاکتور «a» که پیش‌تر ذکر شد، نمایش داده می‌شود:

$a=-7.659\sin(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365(y-2000)+d))$

انحراف دایرةالبروج

خورشید و سیارات در ظهر ظاهری محلی (دایرةالبروج به رنگ قرمز، خورشید و عطارد به رنگ زرد، زهره به رنگ سفید، مریخ به رنگ قرمز، مشتری به رنگ زرد با لکه قرمز، زحل به رنگ سفید با حلقه‌ها).

حتی اگر مدار زمین دایره‌ای بود، حرکت درک‌شده خورشید در امتداد استوای سماوی ما همچنان یکنواخت نبود. این نتیجه کج بودن محور چرخش زمین نسبت به صفحه مداری آن، یا به عبارت دیگر، کج بودن دایرةالبروج (مسیری که خورشید به نظر می‌رسد در کره آسمان طی می‌کند) نسبت به استوای سماوی است. تصویر این حرکت بر روی استوای سماوی ما، که «زمان ساعتی» در امتداد آن اندازه‌گیری می‌شود، در انقلابین به حداکثر می‌رسد، زمانی که حرکت سالانه خورشید موازی با استوا است (که باعث تقویت سرعت درک‌شده می‌شود) و عمدتاً منجر به تغییر در بعد می‌شود. این مقدار در اعتدالین به حداقل می‌رسد، زمانی که حرکت ظاهری خورشید شیب‌دارتر است و تغییر بیشتری در میل ایجاد می‌کند و سهم کمتری برای مؤلفه در «بعد» باقی می‌گذارد، که تنها مؤلفه‌ای است که بر طول روز خورشیدی تأثیر می‌گذارد. یک تصویر عملی از انحراف این است که جابه‌جایی روزانه سایه ایجاد شده توسط خورشید در یک ساعت آفتابی، حتی در استوا، نزدیک به انقلابین کوچک‌تر و نزدیک به اعتدالین بزرگ‌تر است. اگر این اثر به‌تنهایی عمل می‌کرد، روزها در نزدیکی انقلابین تا ۲۴ ساعت و ۲۰٫۳ ثانیه طول می‌کشیدند (اندازه‌گیری از ظهر خورشیدی تا ظهر خورشیدی) و در نزدیکی اعتدالین تا ۲۰٫۳ ثانیه کوتاه‌تر از ۲۴ ساعت بودند.

در شکل سمت راست، می‌توان تغییرات ماهانه شیب ظاهری صفحه دایرةالبروج را در ظهر خورشیدی از دید زمین مشاهده کرد. این تغییر به دلیل حرکت تقدیمی ظاهری زمینِ در حال چرخش در طول سال است، همان‌طور که از دید خورشید در ظهر خورشیدی دیده می‌شود.

از نظر معادله زمان، انحراف دایرةالبروج منجر به ایجاد یک تغییر موج سینوسی با مشخصات زیر می‌شود:

• دامنه: ۹٫۸۷ دقیقه
• دوره تناوب: ۱/۲ سال
• نقاط صفر: اعتدالین و انقلابین
• مقادیر حدی: اوایل فوریه و اوت (منفی) و اوایل مه و نوامبر (مثبت).

این مولفه از معادله زمان (EoT) توسط عامل «b» که پیش‌تر ذکر شد، نمایش داده می‌شود:

$b=9.863\sin \left(2(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365(y-2000)+d))+3.5932\right)$

اثرات سکولار

(توجه: واژه «سکولار» در این زمینه به معنای «مربوط به گذر زمان در دوره‌های طولانی» است و نه «فاقد مذهب». برای نمونه، «روند سکولار» (Secular variation) نیز از این واژه در همین معنا استفاده می‌کند. )

دو عامل ذکر‌شده در بالا دارای طول‌موج، دامنه و فازهای متفاوتی هستند، بنابراین مشارکت ترکیبی آن‌ها یک موج نامنظم است. در مبدأ (اخترشناسی) ۲۰۰۰، این مقادیر (به دقیقه و ثانیه با تاریخ‌های ساعت هماهنگ جهانی) عبارتند از:

حداقل	−۱۴ دقیقه ۱۵ ثانیه	۱۱ فوریه
صفر	۰ دقیقه ۰ ثانیه	۱۵ آوریل
حداکثر	+۳ دقیقه ۴۱ ثانیه	۱۴ مه
صفر	۰ دقیقه ۰ ثانیه	۱۳ ژوئن
حداقل	−۶ دقیقه ۳۰ ثانیه	۲۶ ژوئیه
صفر	۰ دقیقه ۰ ثانیه	۱ سپتامبر
حداکثر	+۱۶ دقیقه ۲۵ ثانیه	۳ نوامبر
صفر	۰ دقیقه ۰ ثانیه	۲۵ دسامبر

E.T. = زمان خورشیدی ظاهری - زمان خورشیدی متوسط. مقدار مثبت به این معناست که خورشید سریع‌تر حرکت می‌کند و زودتر به اوج‌رسی می‌رسد، یا ساعت آفتابی جلوتر از زمان متوسط است. یک تغییر سالانه جزئی به دلیل وجود سال‌های کبیسه رخ می‌دهد که هر ۴ سال یک‌بار خود را بازنشانی می‌کند. شکل دقیق منحنی معادله زمان و آنالمای مرتبط با آن، به دلیل تغییرات سکولار در خروج از مرکز مداری و انحراف محوری، به‌آرامی در طول سده‌ها تغییر می‌کند. در حال حاضر هر دوی این مقادیر به‌آرامی در حال کاهش هستند، اما در مقیاس زمانی صدها هزار سال، افزایش و کاهش می‌یابند.

در مقیاس‌های زمانی کوتاه‌تر (هزاران سال)، جابه‌جایی در تاریخ‌های اعتدال و حضیض خورشیدی اهمیت بیشتری پیدا می‌کند. مورد اول ناشی از حرکت تقدیمی است و اعتدال را نسبت به ستارگان به عقب می‌راند. اما در بحث کنونی می‌توان از آن صرف‌نظر کرد، زیرا گاه‌شماری میلادی ما به‌گونه‌ای ساخته‌شده است که تاریخ اعتدال بهاری را در ۲۰ مارس نگه دارد (حداقل با دقت کافی برای هدف ما در اینجا). جابه‌جایی حضیض خورشیدی رو به جلو است و در هر سده حدود ۱٫۷ روز است. در سال ۱۲۴۶، حضیض خورشیدی در ۲۲ دسامبر، یعنی روز انقلاب زمستانی رخ داد، بنابراین دو موج مشارکت‌کننده دارای نقاط صفر مشترک بودند و منحنی معادله زمان متقارن بود: در کتاب «الگوریتم‌های نجومی»، ژان میوس مقادیر حدی فوریه و نوامبر را ۱۵ دقیقه و ۳۹ ثانیه و مقادیر مه و ژوئیه را ۴ دقیقه و ۵۸ ثانیه ذکر می‌کند. پیش از آن، حداقلِ فوریه بزرگ‌تر از حداکثرِ نوامبر، و حداکثرِ مه بزرگ‌تر از حداقلِ ژوئیه بود. در واقع، در سال‌های پیش از ۱۹۰۰- (۱۹۰۱ پیش از میلاد)، حداکثرِ مه بزرگ‌تر از حداکثرِ نوامبر بود. در سال ۲۰۰۰- (۲۰۰۱ پیش از میلاد)، حداکثرِ مه ۱۲ دقیقه و چند ثانیه بود، در حالی که حداکثرِ نوامبر کمتر از ۱۰ دقیقه بود. تغییر سکولار زمانی آشکار می‌شود که نمودار کنونی معادله زمان (در زیر ببینید) را با نموداری از ۲۰۰۰ سال پیش، مثلاً نموداری که از داده‌های بطلمیوس ساخته‌شده، مقایسه کنیم.

کاربرد عملی

اگر اشاره‌گر (ابزار) (شیء سایه‌ساز) یک لبه نباشد و یک نقطه باشد (مثلاً سوراخی در یک صفحه)، سایه (یا نقطه نور) در طول روز مسیری را ترسیم می‌کند. اگر سایه بر روی یک سطح تخت بیفتد، این منحنی یک مقطع مخروطی (معمولاً یک هذلولی) خواهد بود، زیرا دایره حرکت خورشید همراه با نقطه اشاره‌گر، یک مخروط را تعریف می‌کنند. در اعتدالین بهاری و پاییزی، مخروط به یک صفحه و هذلولی به یک خط تبدیل می‌شود. با داشتن یک هذلولی متفاوت برای هر روز، می‌توان علامت‌های ساعت را روی هر هذلولی قرار داد که شامل هرگونه اصلاحات لازم باشد. متأسفانه، هر هذلولی مربوط به دو روز متفاوت، یکی در هر نیمه از سال است و این دو روز به اصلاحات متفاوتی نیاز دارند. یک مصالحه مناسب، رسم خط برای «زمان متوسط» و افزودن منحنی نشان‌دهنده موقعیت دقیق نقاط سایه در ظهر در طول سال است. این منحنی به شکل عدد هشت انگلیسی در می‌آید و به آن آنالما می‌گویند. با مقایسه آنالما با خط ظهر متوسط، می‌توان میزان اصلاحی که به‌طور کلی باید در آن روز اعمال شود را تعیین کرد.

معادله زمان نه تنها در ارتباط با ساعت‌های آفتابی و ابزارهای مشابه، بلکه برای بسیاری از کاربردهای انرژی خورشیدی نیز استفاده می‌شود. ماشین‌هایی مانند ردیاب‌های خورشیدی و خورپاها باید به گونه‌ای حرکت کنند که تحت تأثیر معادله زمان قرار گیرند.

زمان مدنی، زمان خورشیدی متوسط محلی برای نصف‌النهاری است که اغلب از نزدیکی مرکز منطقه زمانی می‌گذرد و ممکن است توسط ساعت تابستانی تغییر یابد. هنگامی که قرار است زمان خورشیدی ظاهری متناظر با یک زمان مدنی معین یافت شود، باید اختلاف طول جغرافیایی بین محل مورد نظر و نصف‌النهار منطقه زمانی، ساعت تابستانی و معادله زمان همگی در نظر گرفته شوند.

محاسبه

معادله زمان از یک جدول منتشر‌شده یا یک نمودار به دست می‌آید. برای تاریخ‌های گذشته، چنین جدول‌هایی از اندازه‌گیری‌های تاریخی یا محاسبات تولید می‌شوند؛ برای تاریخ‌های آینده، البته، جدول‌ها فقط قابل محاسبه هستند. در دستگاه‌هایی مانند خورپاهای کنترل‌شده با کامپیوتر، کامپیوتر اغلب برای محاسبه معادله زمان برنامه‌ریزی می‌شود. محاسبه می‌تواند عددی یا تحلیلی باشد. روش‌های عددی بر اساس انتگرال‌گیری عددی معادلات حرکت، شامل تمام اثرات گرانشی و نسبیتی مهم هستند. نتایج با دقتی بهتر از ۱ ثانیه هستند و مبنای داده‌های سالنامه‌های مدرن می‌باشند. روش‌های تحلیلی بر اساس راهکاری هستند که تنها شامل برهم‌کنش گرانشی بین خورشید و زمین است؛ این روش ساده‌تر است اما به اندازه روش عددی دقیق نیست. دقت آن را می‌توان با گنجاندن اصلاحات کوچک بهبود بخشید.

بحث زیر یک الگوریتم نسبتاً دقیق (که با داده‌های سالنامه تا ۳ ثانیه در طیف وسیعی از سال‌ها مطابقت دارد) را برای معادله زمان توصیف می‌کند که برای اخترشناسان به‌خوبی شناخته‌شده است. این بحث همچنین نشان می‌دهد که چگونه می‌توان به یک فرمول تقریبی ساده (با دقت ۱ دقیقه در یک بازه زمانی بزرگ) دست یافت که به‌راحتی با ماشین‌حساب قابل ارزیابی است و توضیح ساده‌ای از پدیده‌ای که پیش‌تر در این مقاله استفاده شد، ارائه می‌دهد.

توصیف ریاضی

تعریف دقیق معادله زمان عبارت است از:

: $\mathrm {EOT} =\mathrm {GHA} -\mathrm {GMHA}$

کمیت‌های موجود در این معادله عبارتند از:

• EOT، اختلاف زمان بین زمان خورشیدی ظاهری و زمان خورشیدی متوسط؛
• GHA، زاویه ساعتی گرینویچ خورشید ظاهری (واقعی)؛
• GMHA = زمان هماهنگ جهانی − آفست، زاویه ساعتی متوسط گرینویچ خورشید متوسط (فرضی).

در اینجا زمان و زاویه کمیت‌هایی هستند که با عواملی مانند ۲π رادیان = ۳۶۰ درجه = ۱ روز = ۲۴ ساعت با هم مرتبط هستند. اختلاف EOT قابل اندازه‌گیری است، زیرا GHA زاویه‌ای است که می‌تواند اندازه‌گیری شود و زمان هماهنگ جهانی (UT) مقیاسی برای اندازه‌گیری زمان است. آفستِ π = ۱۸۰ درجه = ۱۲ ساعت از UT به این دلیل لازم است که UT در نیمه‌شب متوسط صفر است، در حالی که GMHA در ظهر متوسط برابر با صفر است. زمان هماهنگ جهانی در نیمه‌شب متوسط ناپیوسته است، بنابراین کمیت دیگری به نام شماره روز N (یک عدد صحیح) برای تشکیل کمیت پیوسته زمان t مورد نیاز است: t = N + ⁠UT/24 hr⁠ days. هر دو GHA و GMHA، مانند تمام زوایای فیزیکی، دارای یک ناپیوستگی ریاضی (و نه فیزیکی) در ظهر (ظاهری و متوسط) مربوط به خود هستند. با وجود ناپیوستگی‌های ریاضی اجزای آن، EOT به عنوان یک تابع پیوسته با افزودن (یا تفریق) ۲۴ ساعت در بازه زمانی کوچک بین ناپیوستگی‌ها در GHA و GMHA تعریف می‌شود.

بر اساس تعاریف زوایای روی کره آسمان GHA = GAST − α (ببینید زاویه ساعتی)
که در آن:

• GAST، زمان نجومی ظاهری گرینویچ است (زاویه بین اعتدال بهاری ظاهری و نصف‌النهار در صفحه استوا). این یک تابع شناخته‌شده از UT است.
• α، بعد (اخترشناسی) خورشید ظاهری است (زاویه بین اعتدال بهاری ظاهری و خورشید واقعی در صفحه استوا).

با جایگذاری در معادله زمان، داریم:

$\mathrm {EOT} =\mathrm {GAST} -\alpha -\mathrm {UT} +\mathrm {offset}$

مانند فرمول GHA در بالا، می‌توان نوشت GMHA = GAST − α_M، که در آن عبارت آخر، بعد خورشید متوسط است. این معادله اغلب به این صورت نوشته می‌شود:

$\mathrm {EOT} =\alpha _{M}-\alpha$

که در آن α_M = GAST − UT + offset. در این فرمول‌بندی، اندازه‌گیری یا محاسبه EOT در یک مقدار زمانی خاص، به اندازه‌گیری یا محاسبه α در آن زمان بستگی دارد. هر دو α و α_M در طول یک سال از ۰ تا ۲۴ ساعت تغییر می‌کنند. اولی دارای ناپیوستگی در زمانی است که به مقدار UT بستگی دارد، در حالی که دومی ناپیوستگی خود را در زمانی کمی دیرتر دارد. در نتیجه، هنگامی که EOT به این روش محاسبه می‌شود، دارای دو ناپیوستگی مصنوعی است. هر دوی آن‌ها را می‌توان با کم کردن ۲۴ ساعت از مقدار EOT در بازه زمانی کوچک پس از ناپیوستگی در α و پیش از ناپیوستگی در α_M حذف کرد. EOT حاصل، یک تابع پیوسته از زمان است.

تعریف دیگری که برای تمایز از EOT با E نشان داده می‌شود، عبارت است از:

$E=\mathrm {GMST} -\alpha -\mathrm {UT} +\mathrm {offset}$

در اینجا GMST = GAST − eqeq، زمان نجومی متوسط گرینویچ است (زاویه بین اعتدال بهاری متوسط و خورشید متوسط در صفحه استوا). بنابراین، GMST تقریبی از GAST است (و E تقریبی از EOT است)؛ eqeq «معادله اعتدالین» نامیده می‌شود و ناشی از لرزش یا نوتاسیون محور چرخش زمین حول حرکت تقدیمی آن است. از آنجا که دامنه حرکت نوتاسیونی تنها حدود ۱. ۲ ثانیه (۱۸ ثانیه قوسی از طول جغرافیایی) است، تفاوت بین EOT و E را می‌توان نادیده گرفت، مگر اینکه دقت زیر یک ثانیه مد نظر باشد.

تعریف سوم که برای تمایز از EOT و E با Δt نشان داده می‌شود و اکنون «معادله زمان نجومی» نامیده می‌شود (پیش از تمایزی که اکنون بین EOT، E و Δt قائل می‌شوند، دومی به عنوان معادله زمان شناخته می‌شد) عبارت است از:: $\Delta t=\Lambda -\alpha$ در اینجا Λ، طول دایرةالبروجی خورشید متوسط است (زاویه از اعتدال بهاری متوسط تا خورشید متوسط در صفحه دائرهالبروج).

تفاوت Λ − (GMST − UT + offset) از سال ۱۹۶۰ تا ۲۰۴۰ برابر با ۱. ۳ ثانیه است. بنابراین، در این محدوده زمانی محدود، Δt تقریبی از EOT است که خطای آن بسته به تصحیح طول جغرافیایی در معادله اعتدالین، در محدوده ۰. ۱ تا ۲. ۵ ثانیه قرار دارد؛ برای بسیاری از اهداف، برای مثال تصحیح یک ساعت آفتابی، این دقت بیش از حد کافی است.

محاسبه بعد (اخترشناسی)

بعد (اخترشناسی)، و در نتیجه معادله زمان، می‌تواند از نظریه دو-جسمی نیوتن در حرکت سماوی محاسبه شود، که در آن اجسام (زمین و خورشید) مدارات بیضی‌شکل را حول مرکز سنگینی سراسری مشترک خود طی می‌کنند. با استفاده از این نظریه، معادله زمان به صورت زیر در می‌آید:

$\Delta t=M+\lambda _{p}-\alpha$

که در آن زوایای جدید ظاهر‌شده عبارتند از:

• M = ⁠2π(t − t_p)/t_Y⁠, ناهنجاری متوسط است، زاویه از حضیض مدار بیضی تا خورشید متوسط؛ محدوده آن با افزایش t از t_p تا t_p + t_Y، از ۰ تا ۲$\pi$ است؛
• t_Y = ۷۰۰۲۳۶۵۲۵۹۶۳۵۸۰۰۰۰۰♠۳۶۵٫۲۵۹۶۳۵۸ روز، طول زمان در یک سال ناهنجار است: بازه زمانی بین دو عبور متوالی از حضیض؛
• λ_p = Λ − M, طول دایرةالبروجی حضیض است؛
• t، زمان دینامیکی است، متغیر مستقل در این نظریه. در اینجا فرض بر این است که با زمان پیوسته مبتنی بر UT (ببینید بالا) یکسان است، اما در محاسبات دقیق‌تر (از E یا EOT) باید تفاوت کوچک بین آن‌ها و همچنین تفاوت بین UT۱ و UTC در نظر گرفته شود.
• t_p، مقدار t در حضیض است.

برای تکمیل محاسبه، سه زاویه اضافی مورد نیاز است:

• E، ناهنجاری برون‌مرکزی خورشید (توجه کنید که این با M متفاوت است)؛
• ν، ناهنجاری حقیقی خورشید؛
• λ = ν + λ_p, طول جغرافیایی حقیقی خورشید بر روی دائرهالبروج.

کره آسمان و مدار بیضی خورشید همان‌طور که توسط ناظر زمین‌مرکزی که عمود بر دائرةالبروج نگاه می‌کند دیده می‌شود، ۶ زاویه (M, λ_p, α, ν, λ, E) مورد نیاز برای محاسبه معادله زمان را نشان می‌دهد. برای وضوح، ترسیم‌ها مقیاس‌بندی نشده‌اند.

همه این زوایا در شکل سمت راست نشان داده شده‌اند که کره آسمان و مدار بیضی خورشید را از دید زمین (همان مدار زمین از دید خورشید) نشان می‌دهد. در این شکل ε، انحراف محوری است، در حالی که e = √1 − (b/a)²، برون‌مرکزی بیضی است.

اکنون با داشتن مقدار 0 ≤ M ≤ 2π، می‌توان α(M) را با استفاده از روش شناخته‌شده زیر محاسبه کرد:

ابتدا، با داشتن M، E را از معادله کپلر محاسبه کنید::

$M=E-e\sin {E}$

اگرچه این معادله را نمی‌توان دقیقاً به شکل بسته حل کرد، مقادیر E(M) را می‌توان از سری‌های نامتناهی (توانی یا مثلثاتی)، روش‌های گرافیکی یا عددی به دست آورد. به عنوان جایگزین، توجه کنید که برای e = 0، E = M است و با تکرار::

$E\approx M+e\sin {M}$

این تقریب را می‌توان برای e کوچک، با تکرار مجدد بهبود بخشید:

$E\approx M+e\sin {M}+{\frac {1}{2}}e^{2}\sin {2M}$

و تکرار ادامه یافته، جملات مرتبه بالاتر بسط سری توانی در e را به دست می‌دهد. برای مقادیر کوچک e (بسیار کمتر از ۱)، دو یا سه جمله از سری، تقریب خوبی برای E می‌دهد؛ هرچه e کوچک‌تر باشد، تقریب بهتر است.

سپس، با دانستن E، ناهنجاری حقیقی ν را از رابطه مدار بیضی محاسبه کنید:

$\nu =2\arctan \left({\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\tfrac {1}{2}}E\right)$

شاخه صحیح تابع چندمقداری arctan x که باید استفاده شود، شاخه‌ای است که ν را به یک تابع پیوسته از E(M) تبدیل می‌کند که از ν_E=0 = 0 شروع می‌شود. بنابراین برای 0 ≤ E < π از arctan x = arctan x و برای π < E ≤ 2π از arctan x = arctan x + π استفاده کنید. در مقدار خاص E = π که آرگومان tan بی‌نهایت است، از ν = E استفاده کنید. در اینجا arctan x شاخه اصلی است، |arctan x| < ⁠π/2⁠؛ تابعی که توسط ماشین‌حساب‌ها و برنامه‌های کامپیوتری بازگردانده می‌شود. به عنوان جایگزین، این تابع را می‌توان برحسب بسط تیلور آن در e بیان کرد که سه جمله اول آن عبارتند از:

$\nu \approx E+e\sin {E}+{\frac {1}{4}}e^{2}\sin {2E}$

برای e کوچک، این تقریب (یا حتی فقط دو جمله اول) تقریب خوبی است. ترکیب تقریب برای E(M) با این تقریب برای ν(E) حاصل می‌دهد:

$\nu \approx M+2e\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}$

رابطه ν(M)، معادله مرکز نامیده می‌شود؛ عبارت نوشته‌شده در اینجا یک تقریب مرتبه دوم در e است. برای مقدار کوچک e که مشخصه مدار زمین است، این یک تقریب بسیار خوب برای ν(M) می‌دهد.

سپس، با دانستن ν، λ را از تعریف آن محاسبه کنید:

$\lambda =\nu +\lambda _{p}$

مقدار λ به صورت غیرخطی با M تغییر می‌کند زیرا مدار بیضی‌شکل است و نه دایره‌ای. از تقریب برای ν:

$\lambda \approx M+\lambda _{p}+2e\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}$.

در نهایت، با دانستن λ، مقدار α را از رابطه مربوط به مثلث قائم‌الزاویه روی کره آسمان که در بالا نشان داده‌شده است، محاسبه کنید:

$\alpha =\arctan \left(\cos {\varepsilon }\tan {\lambda }\right)$

توجه‌داشته باشید که ربع α همان ربع λ است، بنابراین λ را به بازه ۰ تا ۲$\pi$ کاهش دهید و بنویسید:

$\alpha =\arctan \left(\cos {\varepsilon }\tan {\lambda }+k\pi \right)$،

که در آن اگر λ در ربع اول باشد، k برابر ۰ است؛ اگر در ربع دوم یا سوم باشد، برابر ۱ است و اگر در ربع چهارم باشد، برابر ۲ است. برای مقادیری که در آن‌ها تانژانت بی‌نهایت است، α = λ.

اگرچه مقادیر تقریبی برای α را می‌توان از بسط تیلورِ بریده‌شده مانند آنچه برای ν وجود دارد به دست آورد، اما استفاده از معادله زیر موثرتر است:

$\alpha =\lambda -\arcsin \left(y\sin \left(\alpha +\lambda \right)\right)$

که در آن y = tan²(⁠ε/2⁠). توجه کنید که برای ε = y = 0، α = λ است و با دو بار تکرار:

$\alpha \approx \lambda -y\sin {2\lambda }+{\frac {1}{2}}y^{2}\sin {4\lambda }$.

محاسبه نهایی

معادله زمان با جایگذاری نتیجه محاسبه بعد (اخترشناسی) در فرمول معادله زمان به دست می‌آید. در اینجا از Δt(M) = M + λ_p − α[λ(M)] استفاده‌شده است؛ بخشی به این دلیل که اصلاحات کوچک (در حد ۱ ثانیه) که استفاده از E را توجیه می‌کند، در نظر گرفته نشده‌اند و بخشی به این دلیل که هدف، دستیابی به یک عبارت تحلیلی ساده است. استفاده از تقریب‌های دو جمله‌ای برای λ(M) و α(λ) اجازه می‌دهد تا Δt به صورت یک عبارت صریح از دو جمله نوشته شود، که به آن Δt_ey گفته می‌شود، زیرا این یک تقریب مرتبه اول در e و y است.:

۱) $\Delta t_{ey}=-2e\sin {M}+y\sin \left(2M+2\lambda _{p}\right)=-7.659\sin {M}+9.863\sin \left(2M+3.5932\right)$ دقیقه

این معادله برای نخستین بار توسط میلن استخراج شد، که آن را برحسب λ = M + λ_p نوشت. مقادیر عددی نوشته‌شده در اینجا حاصل استفاده از مقادیر پارامترهای مداری e = ۶۹۹۸۱۶۷۰۹۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰♠۰٫۰۱۶۷۰۹، ε = ۷۰۰۱۲۳۴۳۹۳۰۰۰۰۰۰۰۰۰♠۲۳٫۴۳۹۳° = ۶۹۹۹۴۰۹۰۹۳۰۰۰۰۰۰۰۰۰♠۰٫۴۰۹۰۹۳ رادیان و λ_p = ۷۰۰۲۲۸۲۹۳۸۱۰۰۰۰۰۰۰۰♠۲۸۲٫۹۳۸۱° = ۷۰۰۰۴۹۳۸۲۰۱۰۰۰۰۰۰۰۰♠۴٫۹۳۸۲۰۱ رادیان است که مربوط به مبدأ ۱ ژانویه ۲۰۰۰ در ساعت ۱۲ ظهر UT1 می‌باشد. هنگام ارزیابی عبارت عددی برای Δt_ey همان‌طور که در بالا آمده است، ماشین‌حساب باید در حالت رادیان باشد تا مقادیر صحیح به دست آید، زیرا مقدار 2λ_p − 2π در آرگومان جمله دوم در آنجا به رادیان نوشته‌شده است. تقریب‌های مرتبه بالاتر نیز قابل نوشتن هستند، اما لزوماً جملات بیشتری دارند. برای نمونه، تقریب مرتبه دوم در هر دو e و y شامل پنج جمله است:

۲) $\Delta t_{e^{2}y^{2}}=\Delta t_{ey}-{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+4ey\sin {M}\cos \left(2M+2\lambda _{p}\right)-{\frac {1}{2}}y^{2}\sin \left(4M+4\lambda _{p}\right)$

این تقریب پتانسیل دقت بالایی دارد، با این حال برای دستیابی به آن در طیف گسترده‌ای از سال‌ها، باید به پارامترهای e، ε و λ_p اجازه داد تا با زمان تغییر کنند. این امر پیچیدگی‌های محاسباتی بیشتری ایجاد می‌کند. تقریب‌های دیگری نیز پیشنهاد شده‌اند، برای نمونه Δt_e که از معادله مرکز مرتبه اول استفاده می‌کند اما هیچ تقریب دیگری برای تعیین α ندارد، و Δt_e² که از معادله مرکز مرتبه دوم استفاده می‌کند.

متغیر زمان، M، می‌تواند یا برحسب n (تعداد روزهای سپری‌شده از حضیض) یا D (تعداد روزهای سپری‌شده از یک تاریخ و زمان مشخص یا مبدأ) نوشته شود:

۳) $M={\frac {2\pi }{t_{Y}}}n$ روز $=M_{D}+{\frac {2\pi }{t_{Y}}}D$ روز $=6.240\,040\,77+0.017\,201\,97D$

۴) $M=6.240\,040\,77+0.017\,201\,97D$

منحنی‌های Δt و Δt_ey به همراه نمادهایی که مقادیر روزانه در ظهر (در فواصل ۱۰ روزه) به‌دست‌آمده از «سالنامه رایانه‌ای چندساله» را در مقابل d (روز) برای سال ۲۰۰۰ نشان می‌دهند

مشتق −Δt. محور سمت راست طول روز خورشیدی را نشان می‌دهد.

در اینجا M_D مقدار M در تاریخ و زمان انتخاب‌شده است. برای مقادیر ارائه‌شده در اینجا، به رادیان، M_D مقداری است که برای خورشید واقعی در مبدأ ۱ ژانویه ۲۰۰۰ در ساعت ۱۲ ظهر UT۱ اندازه‌گیری‌شده و D تعداد روزهای سپری‌شده از آن مبدأ است. در حضیض M = 2π، بنابراین حل آن D = D_p = ۷۰۰۰۲۵۰۸۱۰۹۰۰۰۰۰۰۰۰♠۲٫۵۰۸۱۰۹ را می‌دهد. این امر حضیض را در ۴ ژانویه ۲۰۰۰ در ساعت ۰۰: ۱۱: ۴۱ قرار می‌دهد، در حالی که حضیض واقعی طبق نتایج «سالنامه رایانه‌ای چندساله» (مخفف MICA)، در ۳ ژانویه ۲۰۰۰ در ساعت ۰۵: ۱۷: ۳۰ است. این اختلاف بزرگ به این دلیل رخ می‌دهد که تفاوت بین شعاع مداری در این دو مکان تنها ۱ در میلیون است؛ به عبارت دیگر، شعاع تابعی بسیار ضعیف از زمان در نزدیکی حضیض است. از نظر عملی، این بدان معناست که نمی‌توان با استفاده از n و افزودن تاریخ واقعی حضیض برای یک سال معین، به نتیجه‌ای با دقت بالا برای معادله زمان دست یافت. با این حال، با استفاده از فرمول‌بندی برحسب D می‌توان به دقت بالایی رسید.

هنگامی که D > D_p، مقدار M بزرگ‌تر از ۲$\pi$ است و باید مضربی از ۲$\pi$ (که به سال بستگی دارد) را از آن کم کرد تا در بازه ۰ تا ۲$\pi$ قرار گیرد. به همین ترتیب برای سال‌های پیش از ۲۰۰۰ باید مضاربی از ۲$\pi$ را اضافه کرد. برای نمونه، برای سال ۲۰۱۰، D از ۷۰۰۳۳۶۵۳۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰♠۳۶۵۳ در ۱ ژانویه ظهر تا ۷۰۰۳۴۰۱۷۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰♠۴۰۱۷ در ۳۱ دسامبر ظهر تغییر می‌کند؛ مقادیر M متناظر ۷۰۰۱۶۹۰۷۸۹۴۶۸۰۰۰۰۰۰♠۶۹٫۰۷۸۹۴۶۸ و ۷۰۰۱۷۵۳۴۰۴۷۴۸۰۰۰۰۰۰♠۷۵٫۳۴۰۴۷۴۸ هستند که با کم کردن ۱۰ و ۱۱ برابر ۲$\pi$ به بازه ۰ تا ۲$\pi$ کاهش می‌یابند.

همیشه می‌توان نوشت:

۵) D = n_Y + d

که در آن:

• n_Y = تعداد روزها از مبدأ تا ظهر ۱ ژانویه سال مورد نظر
• 0 ≤ d ≤ 364 (اگر محاسبه برای سال کبیسه باشد ۳۶۵).

معادله حاصل برای سال‌های پس از ۲۰۰۰، که به صورت مجموع دو جمله نوشته‌شده، با توجه به ۱)، ۴) و ۵) عبارت است از:

$a=-7.659\sin(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365.25(y-2000)+d))$

$b=9.863\sin \left(2(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365.25(y-2000)+d))+3.5932\right)$

۶) $\Delta t_{ey}=a+b$ [دقیقه]

در قالب متن ساده:

۷) EoT = -7.659sin(6.24004077 + 0.01720197(365*(y-2000) + d)) + 9.863sin( 2 (6.24004077 + 0.01720197 (365*(y-2000) + d)) + 3.5932 ) [دقیقه]

جمله «a» نشان‌دهنده سهم برون‌مرکزی و جمله «b» نشان‌دهنده سهم انحراف محوری است.

نتیجه محاسبات معمولاً به صورت مجموعه‌ای از مقادیر جدولی یا نموداری از معادله زمان به عنوان تابعی از d ارائه می‌شود. مقایسه‌ای از نمودارهای Δt، Δt_ey و نتایج حاصل از MICA همگی برای سال ۲۰۰۰ در شکل نشان داده‌شده است. مشاهده می‌شود که نمودار Δt_ey به نتایج تولیدشده توسط MICA نزدیک است؛ خطای مطلق، Err = |Δt_ey − MICA2000|، در طول سال کمتر از ۱ دقیقه است؛ بزرگ‌ترین مقدار آن ۴۳. ۲ ثانیه است و در روز ۲۷۶ (۳ اکتبر) رخ می‌دهد. نمودار Δt از نتایج MICA غیرقابل تشخیص است و بزرگ‌ترین خطای مطلق بین این دو، ۲. ۴۶ ثانیه در روز ۳۲۴ (۲۰ نوامبر) است.

پیوستگی

برای انتخاب شاخه مناسب از رابطه arctan با توجه به پیوستگی تابع، نسخه اصلاح‌شده‌ای از تابع آرک‌تانژانت مفید است. این نسخه با استفاده از یک پارامتر، دانش قبلی درباره مقدار مورد انتظار را وارد می‌کند. تابع آرک‌تانژانت اصلاح‌شده به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\arctan _{\eta }x=\arctan x+\pi \operatorname {round} {\left({\frac {\eta -\arctan x}{\pi }}\right)}$.

این تابع مقداری را تولید می‌کند که تا حد امکان به η نزدیک باشد. تابع round به نزدیک‌ترین عدد صحیح گرد می‌کند.

اعمال این مورد نتیجه می‌دهد:

$\Delta t(M)=M+\lambda _{p}-\arctan _{M+\lambda _{p}}\left(\cos {\varepsilon }\tan {\lambda }\right)$.

پارامتر M + λ_p در اینجا تنظیم می‌شود تا Δt را به نزدیک‌ترین مقدار صفر که مقدار مطلوب است، برساند.

تغییرات سکولار

تفاوت بین نتایج MICA و Δt در بازهٔ سال‌های ۱۹۶۰ تا ۲۰۴۰ هر ۵ سال یک‌بار بررسی شد. در تمامی موارد، بیشینهٔ خطای مطلق کمتر از ۳ ثانیه بود؛ بزرگ‌ترین تفاوت، یعنی ۲٫۹۱ ثانیه، در ۲۲ مه ۱۹۶۵ (روز ۱۴۱) رخ داد. با این حال، برای دستیابی به این سطح از دقت در این بازهٔ زمانی، لازم است تغییرات سکولار در پارامترهای مداری با گذشت زمان در نظر گرفته شود. معادلاتی که این تغییرات را توصیف می‌کنند عبارتند از::

${\begin{aligned}e&=1.6709\times 10^{-2}-4.193\times 10^{-5}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)-1.26\times 10^{-7}\left({\frac {D}{36525}}\right)^{2}\\\varepsilon &=23.4393-0.013\left({\frac {D}{36\,525}}\right)-2\times 10^{-7}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{2}+5\times 10^{-7}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{3}{\mbox{ degrees}}\\\lambda _{\mathrm {p} }&=282.938\,07+1.7195\left({\frac {D}{36\,525}}\right)+3.025\times 10^{-4}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{2}{\mbox{ degrees}}\end{aligned}}$

بر اساس این روابط، در ۱۰۰ سال (D = ۷۰۰۴۳۶۵۲۵۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰♠۳۶۵۲۵)، λ_p حدود ۰٫۵٪ (۱٫۷ درجه) افزایش، e حدود ۰٫۲۵٪ کاهش و ε حدود ۰٫۰۵٪ کاهش می‌یابد.

در نتیجه، تعداد محاسبات مورد نیاز برای هر یک از تقریب‌های مرتبه بالاتر معادله زمان، در صورتی که بخواهیم دقت ذاتی آن‌ها را در بازهٔ زمانی گسترده‌ای حفظ کنیم، نیازمند استفاده از رایانه است. در این صورت، ارزیابی Δt با استفاده از رایانه دشوارتر از هر یک از تقریب‌های آن نیست.

در تمام این موارد توجه‌داشته باشید که Δt_ey که در بالا نوشته شد، حتی با یک ماشین‌حساب به‌راحتی قابل محاسبه است، برای اصلاح ساعت‌های آفتابی به‌اندازهٔ کافی دقیق است (بهتر از ۱ دقیقه در بازهٔ ۸۰ ساله) و دارای توضیح فیزیکی مناسبی به عنوان مجموع دو جمله است؛ یکی ناشی از انحراف محوری و دیگری ناشی از برون‌مرکزی که پیش‌تر در مقاله استفاده شد. این موضوع نه برای Δt به عنوان تابعی از M و نه برای هیچ‌یک از تقریب‌های مرتبه بالاتر آن صادق نیست.

محاسبه جایگزین

روش دیگری برای محاسبه معادله زمان می‌تواند به صورت زیر انجام شود. زاویه‌ها بر حسب درجه هستند؛ اولویت عملگرهای مرسوم اعمال می‌شود.

n = ⁠360°/365.24 days,⁠

که در آن n میانگین سرعت زاویه‌ای مداری زمین بر حسب درجه در روز است که به آن «حرکت روزانه متوسط» نیز می‌گویند.

$A=\left(D+9\right)n$

که در آن D تاریخ است که از ۱ ژانویه با عدد ۱ شروع می‌شود (یعنی بخش روز از روز ژولیوسی در سال). ۹ تعداد تقریبی روزها از انقلاب زمستانی تا ۳۱ دسامبر است. A زاویه‌ای است که زمین در مدار خود با سرعت متوسط از انقلاب زمستانی تا تاریخ D طی می‌کند.

$B=A+0.0167\cdot {\frac {360^{\circ }}{\pi }}\sin \left(\left(D-3\right)n\right)$

B زاویه‌ای است که زمین از انقلاب تا تاریخ D طی می‌کند، که شامل یک اصلاح مرتبه اول برای برون‌مرکزی مداری زمین، یعنی ۰٫۰۱۶۷ است. عدد ۳ تعداد تقریبی روزها از ۳۱ دسامبر تا تاریخ فعلی اوج و حضیض زمین است. این عبارت برای B را می‌توان با ترکیب ثابت‌ها به صورت زیر ساده کرد:

$B=A+1.914^{\circ }\cdot \sin \left(\left(D-3\right)n\right)$.

$C={\frac {A-\arctan {\frac {\tan B}{\cos 23.44^{\circ }}}}{180^{\circ }}}$

در اینجا، C تفاوت بین زاویه طی‌شده با سرعت متوسط و زاویه با سرعت اصلاح‌شده است که بر صفحه استوایی تصویر شده و بر ۱۸۰ درجه تقسیم شده تا تفاوت در «نیم‌دورها» به دست آید. مقدار ۲۳٫۴۴ درجه همان انحراف محوری زمین است. تفریق انجام‌شده، علامت مرسوم را به معادله زمان می‌دهد. برای هر مقدار داده‌شده از x، arctan x (که گاهی به صورت tan⁻¹ x نوشته می‌شود) مقادیر متعددی دارد که با اعداد صحیح نیم‌دور از یکدیگر متمایز می‌شوند. مقداری که توسط ماشین‌حساب یا رایانه تولید می‌شود ممکن است مقدار مناسب برای این محاسبه نباشد. این امر ممکن است باعث شود C به اندازه یک عدد صحیح از نیم‌دورها اشتباه باشد. نیم‌دورهای اضافی در مرحله بعدی محاسبه حذف می‌شوند تا معادله زمان به دست آید:

$\mathrm {EOT} =720\left(C-\operatorname {nint} {C}\right)$ دقیقه

عبارت nint(C) به معنای «نزدیک‌ترین عدد صحیح» به C است. در رایانه، می‌توان آن را برای مثال به صورت INT(C + 0.5) برنامه‌نویسی کرد. مقدار آن در زمان‌های مختلف سال ۰، ۱ یا ۲ است. تفریق آن، یک عدد کسری کوچک مثبت یا منفی از نیم‌دورها باقی می‌گذارد که در ۷۲۰ ضرب می‌شود؛ ۷۲۰ تعداد دقیقه‌هایی (۱۲ ساعت) است که زمین برای چرخش یک نیم‌دور نسبت به خورشید طی می‌کند تا معادله زمان به دست آید.

در مقایسه با مقادیر منتشرشده، این محاسبه دارای جذر میانگین مربعات خطای تنها ۳٫۷ ثانیه است. بزرگ‌ترین خطا ۶٫۰ ثانیه است. این روش بسیار دقیق‌تر از تقریب توصیف‌شده در بالا است، اما به اندازه محاسبه دقیق و پیچیده نیست.</ref>

میل خورشیدی

مقاله‌های اصلی: میل (اخترشناسی) و مکان خورشید

مقدار B در محاسبه بالا، مقدار دقیقی برای طول دایرةالبروجی خورشید (با ۹۰ درجه جابجایی) است، بنابراین میل خورشیدی δ به‌راحتی در دسترس قرار می‌گیرد:

$\delta =-\arcsin \left(\sin 23.44^{\circ }\cdot \cos B\right)$

که تا کسری از درجه دقیق است.

جستارهای وابسته

• سمت (ستاره‌شناسی)
• چرخه‌های میلانکوویچ

منابع

• Helyar, A. G. "Sun Data".{{cite web}}: نگهداری یادکرد:وضعیت پیوند (رده)
• Meeus, J. (1997). Mathematical Astronomy Morsels. Richmond, Virginia: Willman-Bell.
• McCarthy, Dennis D.; Seidelmann, P. Kenneth (2009). TIME From Earth Rotation to Atomic Physics. Weinheim: Wiley VCH. ISBN 978-3-527-40780-4.

پیوند به بیرون

• NOAA Solar Calculator
• "USNO data services". Archived from the original on 2014-05-29. (شامل زمان‌های طلوع/غروب/اوج‌رسی خورشید و دیگر اجرام آسمانی)
• معادله زمان توصیف‌شده در وب‌سایت رصدخانه سلطنتی گرینویچ
• معادله زمان و آنالما، نوشته کیرون تیلور
• مقاله‌ای از برایان تانگ شامل پیوندی به یک برنامه C که از فرمولی دقیق‌تر از اکثر فرمول‌ها استفاده می‌کند (به‌ویژه در میل و خروج از مرکز بالا). این برنامه می‌تواند میل خورشیدی، معادله زمان یا آنالما را محاسبه کند.
• انجام محاسبات با استفاده از مدل‌های سیاره‌ای زمین‌مرکز بطلمیوس همراه با بحثی درباره نمودار معادله زمان او
• ساعت پاندولی معادله زمان اثر جان تاپینگ، حدود ۱۷۲۰
• جدول تصحیح معادله زمان صفحه‌ای که نحوه تصحیح ساعت نسبت به ساعت آفتابی را شرح می‌دهد.
• زمان‌سنج خورشیدی: محاسبه زمان خورشیدی شما، شامل معادله زمان
• AEquatio Dierum معادله زمان: اطلاعات بصری گسترده درباره معادله زمان در نظریه، ساعت‌های آفتابی و ساعت‌ها. شامل روش‌های عملی ساده برای محاسبه.