معادله مدار

در مکانیک مداری، معادلهٔ مدار (انگلیسی: Orbit equation) مسیر حرکت یک جسم مدارگرد با جرم $m_{2},!$ را به دور جسم مرکزی با جرم $m_{1},!$ نسبت به $m_{1},!$ تعریف می‌کند، بی‌آنکه موقعیت جسم را به‌عنوان تابعی از زمان مشخص کند. بر پایهٔ فرض‌های استاندارد، جسمی که تحت تأثیر نیرویی رو به یک جسم مرکزی حرکت کند و بزرگی آن نیرو با مجذور فاصله نسبت وارون داشته باشد—مانند گرانش—مداری به شکل یک مقطع مخروطی خواهد داشت؛ یعنی مدار دایره‌ای، مدار بیضی، مسیر سهموی، مسیر هذلولی یا مسیر شعاعی، که جسم مرکزی در یکی از دو کانون آن قرار دارد (قوانین کپلر).

اگر مقطع مخروطی با جسم مرکزی برخورد کند، مسیر واقعی تنها می‌تواند بخشی از آن باشد که بالاتر از سطح جسم مرکزی قرار دارد. بااین‌حال، تا زمانی که جسم در سقوط آزاد و در وضعیت بی‌وزنی باشد، معادلهٔ مدار و بسیاری از فرمول‌های مربوط به آن همچنان برای این بخش از مسیر معتبرند.

نیروی مرکزی با قانون عکس مجذور

یک مسئله دو جسم را در نظر بگیرید که از یک جسم مرکزی با جرم M و جسمی بسیار کوچک‌تر و مدارگرد با جرم $m$ تشکیل شده باشد و فرض کنید دو جسم از طریق یک نیروی مرکزی با قانون عکس مجذور—مانند گرانش—برهم‌کنش داشته باشند. در دستگاه مختصات قطبی، معادلهٔ مدار را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$r={\frac {\ell ^{2}}{m^{2}\mu }}{\frac {1}{1+e\cos \theta }}$$

که در آن:

• $r$ فاصلهٔ میان دو جسم است؛
• $\theta$ زاویه‌ای است که بردار $\mathbf {r}$ با محور اوج و حضیض می‌سازد؛ این زاویه را ناهنجاری حقیقی نیز می‌نامند؛
• پارامتر $\ell$ تکانه زاویه‌ای جسم مدارگرد نسبت به جسم مرکزی است و با $mr^{2}{\dot {\theta }}$ برابر است؛ یعنی جرم جسم ضربدر اندازهٔ حاصل‌ضرب برداریِ بردارهای موقعیت نسبی و سرعت نسبی دو جسم.
• پارامتر $\mu$ ثابتی است که در آن $\mu /r^{2}$ برابر با شتاب جسم کوچک‌تر است. در گرانش، $\mu$ همان پارامتر گرانشی استاندارد است. برای یک مدار مشخص، هرچه $\mu$ بزرگ‌تر باشد، جسم مدارگرد با سرعت بیشتری حرکت می‌کند؛ برای نمونه اگر نیروی جاذبه چهار برابر شود، سرعت مداری دو برابر خواهد شد.
• پارامتر $e$ برون‌مرکزی مدار است و از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:

$$e={\sqrt {1+{\frac {2E\ell ^{2}}{m^{3}\mu ^{2}}}}}$$

که در آن $E$ انرژی مدار است.

رابطهٔ بالا میان $r$ و $\theta$ یک مقطع مخروطی را توصیف می‌کند. مقدار $e$ نوع مقطع مخروطی و در نتیجه نوع مدار را تعیین می‌کند:

• اگر $e<1$ باشد، مدار بیضی است؛ دایره نیز بیضی‌ای با $e=0$ است؛
• اگر $e=1$ باشد، مدار سهموی است؛
• اگر $e>1$ باشد، مدار هذلولی است.

کمینهٔ مقدار $r$ در این معادله برابر است با:

$$r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1+e}}$$

و اگر $e<1$ باشد، بیشینهٔ مقدار آن چنین است:

$$r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1-e}}$$

اگر مقدار بیشینه از شعاع جسم مرکزی کمتر باشد، مقطع مخروطی یک بیضی است که به‌طور کامل درون جسم مرکزی قرار می‌گیرد و هیچ بخشی از آن نمی‌تواند مسیر واقعی حرکت باشد. اگر بیشینهٔ فاصله از شعاع جسم مرکزی بیشتر ولی کمینهٔ آن کمتر باشد، تنها بخشی از مسیر امکان‌پذیر خواهد بود:

• اگر انرژی نامنفی باشد، یعنی مدار سهموی یا هذلولی باشد، حرکت یا از جسم مرکزی دور می‌شود یا به سوی آن پیش می‌رود؛
• اگر انرژی منفی باشد، جسم می‌تواند ابتدا از جسم مرکزی دور شود و تا فاصلهٔ

$$r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1-e}}$$

پیش رود و سپس دوباره به سوی جسم مرکزی سقوط کند.

اگر مقدار $r$ به اندازه‌ای کاهش یابد که جسم مدارگرد وارد جو جسم مرکزی شود، فرض‌های استاندارد دیگر معتبر نخواهند بود؛ چنان‌که در ورود به جو رخ می‌دهد.

مسیرهای کم‌انرژی

اگر جسم مرکزی زمین باشد و انرژی جسم تنها اندکی بیشتر از انرژی پتانسیل آن بر سطح زمین باشد، مدار بیضی خواهد بود و برون‌مرکزی آن به ۱ نزدیک است؛ یک انتهای بیضی اندکی آن سوی مرکز زمین و انتهای دیگر اندکی بالاتر از سطح زمین قرار می‌گیرد. در این حالت فقط بخش کوچکی از بیضی می‌تواند مسیر واقعی حرکت باشد.

اگر سرعت افقی $v,!$ باشد، ارتفاع اوج برابر با ${\frac {v^{2}}{2g}}$ خواهد بود. انرژی در سطح زمین متناظر با مداری بیضی با $a=R/2,!$ است که در آن $R,!$ شعاع زمین است؛ چنین مداری در واقع نمی‌تواند وجود داشته باشد، زیرا بیضی به‌طور کامل در زیر سطح زمین قرار می‌گیرد. انرژی ویژه مداری متناظر با $a$ با نرخ $2g,!$ تغییر می‌کند.

بیشترین ارتفاع مدار از سطح زمین برابر است با طول بیضی منهای $R,!$ و منهای بخشی که در «زیر» مرکز زمین قرار دارد؛ بنابراین این مقدار برابر با دو برابر افزایش $a,!$ منهای فاصلهٔ حضیض است. در بالاترین نقطه، انرژی پتانسیل برابر با $g$ ضربدر این ارتفاع و انرژی جنبشی برابر با ${\frac {v^{2}}{2}}$ است. مجموع این دو همان افزایش انرژی یادشده خواهد بود. پهنای بیضی برابر با ۱۹ دقیقه ضربدر $v,!$ است.

بخش بیضی که بالای سطح قرار دارد را می‌توان تقریباً با بخشی از یک سهمی نمایش داد؛ این تقریب در مدلی به دست می‌آید که در آن گرانش ثابت فرض می‌شود. این حالت را باید از مدار سهموی به معنای اخترپویایی آن جدا دانست، زیرا در مدار سهموی سرعت جسم برابر با سرعت گریز است.

همچنین بنگرید به مسیر پیمایش.

دسته‌بندی مدارها

مدارهایی را در نظر بگیرید که در نقطه‌ای نزدیک سطح زمین افقی هستند. با افزایش سرعت در این نقطه، مدارها به‌ترتیب چنین خواهند بود:

• بخشی از یک بیضی با محور بزرگ عمودی، که مرکز زمین در کانون دورتر آن قرار دارد؛ مانند پرتاب سنگ، پرواز زیرمداری و موشک بالستیک؛
• دایره‌ای درست بالای سطح زمین، یعنی مدار پایینی زمین؛
• بیضی‌ای با محور بزرگ عمودی که مرکز زمین در کانون نزدیک‌تر آن قرار دارد؛
• سهمی؛
• هذلولی.

توجه شود که در توالی بالا، $h$، $\epsilon$ و $a$ به‌طور یکنواخت افزایش می‌یابند، اما $e$ ابتدا از ۱ به صفر کاهش می‌یابد و سپس از صفر تا بی‌نهایت افزایش پیدا می‌کند. وارونگی هنگامی رخ می‌دهد که مرکز زمین از کانون دور بیضی به کانون نزدیک آن تبدیل می‌شود؛ کانون دیگر ابتدا نزدیک سطح زمین قرار دارد و سپس از مرکز زمین عبور می‌کند. رابطهٔ زیر برقرار است:

$$e=\left|{\frac {R}{a}}-1\right|$$

اگر این دسته‌بندی را به مدارهایی تعمیم دهیم که در ارتفاعی دیگر افقی هستند و همچنین مدارهایی که امتداد فرضی آنها در زیر سطح زمین افقی می‌شود، می‌توان همهٔ مدارها را دسته‌بندی کرد، به‌جز حالت سرعت مداری که در آن معادلهٔ مدار به این صورت قابل استفاده نیست. در این دسته‌بندی، بیضی‌ها دو بار در نظر گرفته می‌شوند؛ بنابراین برای بیضی‌هایی که هر دو سوی آنها بالای سطح قرار دارند می‌توان تنها سوی پایین‌تر را به‌عنوان سوی مرجع در نظر گرفت، و برای بیضی‌هایی که تنها یک سوی آنها بالای سطح است، همان سوی بالاتر از سطح را مرجع قرار داد.

جستارهای وابسته

• قوانین کپلر
• مدار دایره‌ای
• مدار بیضی
• مسیر سهموی
• مسیر هذلولی
• سرعت مداری
• سرعت گریز
• مکانیک سماوی

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Orbit equation». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۰ اوت ۲۰۲۶.