مسیر شعاعی

مسیر شعاعی (انگلیسی: Radial trajectory) در مکانیک مداری و مکانیک سماوی، یک مدار کپلری با تکانهٔ زاویه‌ای صفر است. دو جسم در یک مسیر شعاعی مستقیماً در امتداد یک خط راست به سوی یکدیگر یا دور از هم حرکت می‌کنند.

دسته‌بندی

سه گونه مسیر (مدار) شعاعی وجود دارد:

• مدار بیضی: مداری متناظر با بخشی از یک بیضی تباهیده، از لحظه‌ای که دو جسم با یکدیگر تماس پیدا می‌کنند و از هم دور می‌شوند تا زمانی که دوباره با هم برخورد کنند. تندی نسبی دو جسم کمتر از سرعت گریز است. این مدار، یک مدار بیضوی با نیم‌قطر اصغر برابر با صفر و خروج از مرکز برابر با ۱ است. اگرچه خروج از مرکز آن ۱ است، اما یک مدار سهموی به‌شمار نمی‌رود. اگر ضریب بازگشت دو جسم برابر با ۱ (کاملاً کشسان) باشد، این مدار دوره‌ای خواهد بود و چنانچه ضریب بازگشت کمتر از ۱ (ناکشسان) باشد، مدار غیردوره‌ای است.
• مسیر سهموی: مداری غیردوره‌ای که در آن تندی نسبی دو جسم همواره برابر با سرعت گریز است. در این حالت دو وضعیت وجود دارد: اجسام از یکدیگر دور می‌شوند یا به سوی هم حرکت می‌کنند.
• مسیر هذلولی: مداری غیردوره‌ای که در آن تندی نسبی دو جسم همواره از سرعت گریز فراتر می‌رود. در این حالت نیز دو وضعیت وجود دارد: اجسام از هم دور می‌شوند یا به سوی یکدیگر می‌آیند. این یک مدار هذلولی با نیم‌قطر اصغر برابر با صفر و خروج از مرکز برابر با ۱ است. اگرچه خروج از مرکز آن ۱ است، اما مداری سهموی نیست.

برخلاف مدارهای استاندارد که بر پایهٔ خروج از مرکز مداری دسته‌بندی می‌شوند، مدارهای شعاعی بر اساس انرژی ویژهٔ مداری دسته‌بندی می‌گردند که برابر است با مجموع ثابت انرژی‌های جنبشی و پتانسیل، تقسیم بر جرم کاهش‌یافته: $$\varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{x}}$$ که در آن x فاصلهٔ میان مراکز جرم‌ها، v سرعت نسبی، و $\mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)$ پارامتر گرانشی استاندارد است.

ثابت دیگری به صورت زیر تعریف می‌شود: $$w={\frac {1}{x}}-{\frac {v^{2}}{2\mu }}={\frac {-\varepsilon }{\mu }}$$

• برای مسیرهای بیضوی، مقدار w مثبت است که معکوس فاصله در نقطهٔ اوج و حضیض (بیشترین فاصله) به‌شمار می‌رود.
• برای مسیرهای سهموی، مقدار w صفر است.
• برای مسیرهای هذلولی، مقدار w منفی و برابر با $\textstyle {\frac {-v_{\infty }^{2}}{2\mu }}$ است که در آن $\textstyle v_{\infty }$ سرعت در فاصلهٔ بی‌نهایت است.

زمان به عنوان تابعی از فاصله

با در دست داشتن فاصله و سرعت در هر زمان مشخص و نیز جرم کل، می‌توان موقعیت را در هر زمان دیگری به دست آورد.

گام نخست، تعیین مقدار ثابت w است. از علامت w برای مشخص کردن گونهٔ مدار بهره گرفته می‌شود: $$w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}$$ که در آن ${\textstyle x_{0}}$ و ${\textstyle v_{0}}$ فاصله و سرعت نسبی در هر زمان دلخواه‌اند.

مسیر سهموی

$$t(x)={\sqrt {\frac {2x^{3}}{9\mu }}}$$ که در آن t زمان سپری‌شده از یا تا لحظه‌ای است که دو جرم (در صورت نقطهٔ مادی بودن) بر یکدیگر منطبق می‌شدند، و x فاصله است.

این معادله تنها برای مسیرهای سهموی شعاعی کاربرد دارد؛ برای مسیرهای سهموی عمومی، مسیر سهموی را ببینید.

مسیر بیضوی

$$t(x,w)={\frac {\arcsin \left({\sqrt {w\,x}}\right)-{\sqrt {w\,x\ (1-w\,x)}}}{\sqrt {2\mu \,w^{3}}}}$$ که در آن t زمان سپری‌شده از یا تا لحظه‌ای است که دو جرم (در صورت نقطهٔ مادی بودن) بر یکدیگر منطبق می‌شدند، و x فاصله است.

این رابطه در واقع همان معادله کپلر است.

مسیر هذلولی

$$t(x,w)={\frac {{\sqrt {(|w|x)^{2}+|w|x}}-\ln \left({\sqrt {|w|x}}+{\sqrt {1+|w|x}}\right)}{\sqrt {2\mu \,|w|^{3}}}}$$ که در آن t زمان از یا تا لحظهٔ انطباق دو جرم نقطه‌ای، و x فاصله است.

حالت فراگیر (برای هر مسیری)

معادلهٔ شعاعی کپلر را می‌توان به صورت فراگیر (کاربردی برای همهٔ مسیرها) درآورد: $$t(x,w)=\lim _{u\to w}{\frac {\arcsin \left({\sqrt {u\,x}}\right)-{\sqrt {u\,x\ (1-u\,x)}}}{\sqrt {2\mu \,u^{3}}}}$$ یا با گسترش آن در قالب یک سری توانی: $$t(x,w)={\frac {1}{\sqrt {2\mu }}}\left.\left({\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{5}}wx^{\frac {5}{2}}+{\frac {3}{28}}w^{2}x^{\frac {7}{2}}+{\frac {5}{72}}w^{3}x^{\frac {9}{2}}+{\frac {35}{704}}w^{4}x^{\frac {11}{2}}\cdots \right)\right|_{-1<w\cdot x<1}$$

مسئله شعاعی کپلر (فاصله به عنوان تابعی از زمان)

یافتن فاصلهٔ دو جسم در یک زمان مشخص بر پایهٔ فاصله و سرعت آن‌ها در زمانی دیگر، با عنوان مسئله کپلر شناخته می‌شود. این بخش به حل مسئلهٔ کپلر برای مدارهای شعاعی می‌پردازد.

گام نخست، محاسبهٔ ثابت ${\textstyle w}$ است. با بهره‌گیری از علامت ${\textstyle w}$ گونهٔ مدار تعیین می‌شود: $$w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}$$ که در آن ${\textstyle x_{0}}$ و ${\textstyle v_{0}}$ فاصله و سرعت در هر زمان مشخص هستند.

مسیر سهموی

$$x(t)=\left({\frac {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{\frac {1}{3}}$$

حالت فراگیر (برای هر مسیری)

از دو کمیت میانی استفاده می‌شود: w، و فاصله‌ای که اجسام در زمان t در صورت قرار داشتن در یک مسیر سهموی می‌داشتند، یعنی p: $$w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}\quad {\text{و}}\quad p=\left({\frac {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{1/3}$$

که در آن t زمان، $x_{0}$ مکان اولیه، $v_{0}$ سرعت اولیه، و $\mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)$ است.

معادله کپلر پاسخ مسئلهٔ شعاعی کپلر به‌شمار می‌رود: $$x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\lim _{r\to 0}\left[{\frac {w^{n-1}p^{n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}}{\mathrm {d} r^{n-1}}}\left(r^{n}\left[{\frac {3}{2}}\left(\arcsin \left[{\sqrt {r}}\right]-{\sqrt {r-r^{2}}}\right)\right]^{-{\frac {2}{3}}n}\right)\right]\right)$$

محاسبهٔ این رابطه عبارت زیر را به دست می‌دهد: $$x(t)=p-{\frac {1}{5}}wp^{2}-{\frac {3}{175}}w^{2}p^{3}-{\frac {23}{7875}}w^{3}p^{4}-{\frac {1894}{3031875}}w^{4}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}w^{5}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}w^{6}p^{7}\cdots$$

سری‌های توانی را می‌توان به‌سادگی جمله به جمله مشتق گرفت. با مشتق‌گیری‌های پیاپی، فرمول‌های مربوط به سرعت، شتاب، تکانه و دیگر متغیرها به دست می‌آیند.

مدار درون یک مجرای شعاعی

مدار درون یک مجرای شعاعی در یک جسم کروی یکنواخت، یک حرکت هماهنگ ساده خواهد بود، زیرا گرانش درون چنین جرمی متناسب با فاصله تا مرکز است. اگر جسم کوچک از سطح جسم بزرگ وارد و/یا خارج شود، مدار آن به یکی از حالت‌های پیش‌گفته تغییر می‌یابد. برای نمونه، اگر این مجرا از یک سوی سطح تا سوی دیگر امتداد یافته باشد، یک مدار بسته امکان‌پذیر می‌شود که از بخش‌هایی از دو چرخهٔ حرکت هماهنگ ساده و بخش‌هایی از دو مدار بیضوی شعاعی متقارن تشکیل شده است.

جستارهای وابسته

• معادله کپلر
• مسئله کپلر
• فهرست مدارها

منابع

• Cowell, Peter (1993), Solving Kepler's Equation Over Three Centuries, William Bell.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Radial trajectory». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۰ اوت ۲۰۲۶.

پیوند به بیرون

• معادلهٔ کپلر در مث‌ورلد