اسکالر (ریاضی)

در ریاضیات، و به‌طور خاص‌تر در جبر خطی، یک اسکالر (ریاضی) عنصری از یک میدان است که برای تعریف یک فضای برداری از طریق عمل «ضرب نرده‌ای» استفاده می‌شود: یک بردار (که با $v$ نشان داده می‌شود) ضرب در یک اسکالر (که با $a$ نشان داده می‌شود)، بردار دیگری ( $a v$ ) تولید می‌کند.^[۱]^[۲]^[۳] اعداد حقیقی و اعداد مختلط ممکن است به ترتیب به عنوان اسکالر در فضاهای برداری حقیقی و فضای برداری مختلط استفاده شوند. یک عمل ضرب اسکالر – که نباید با ضرب نرده‌ای اشتباه گرفته شود – ممکن است در یک فضای برداری تعریف شود که اجازه می‌دهد دو بردار به روش تعریف‌شده در هم ضرب شوند تا یک اسکالر تولید کنند. فضای برداری مجهز به ضرب داخلی، فضای ضرب داخلی نامیده می‌شود.

یک اسکالر ممکن است نقش‌های دیگری نیز از نظر مولفه‌های برداری، در فضاهای برداری نرم‌دار، در مدول‌ها و در نگاشت‌ها‌داشته باشد. کمیتی که توسط چندین اسکالر توصیف می‌شود، مانند داشتن هم جهت و هم اندازه، بردار نامیده می‌شود.^[۴] اصطلاح اسکالر گاهی اوقات به صورت غیررسمی برای اشاره به یک بردار، ماتریس، تانسور یا دیگر مقادیر «ترکیبی» که در واقع به یک مولفه واحد کاهش می‌یابند، استفاده می‌شود. بنابراین، برای مثال، حاصل‌ضرب یک ماتریس ۱ × n و یک ماتریس n × ۱، که رسماً یک ماتریس ۱ × ۱ است، اغلب یک اسکالر نامیده می‌شود. مولفه حقیقی یک چهارگان نیز بخش اسکالر آن نامیده می‌شود.

اصطلاح ماتریس اسکالر برای نشان دادن ماتریسی به فرم kI استفاده می‌شود که در آن k یک اسکالر و I ماتریس همانی است.

ریشه‌شناسی

واژه «اسکالر» از واژه لاتین scalaris مشتق‌شده است که شکل صفتی scala (در لاتین به معنای «نردبان») است. اولین کاربرد ثبت‌شده از واژه «اسکالر» در ریاضیات در کتاب «هنر تحلیلی» (In artem analyticem isagoge) اثر فرانسوا ویت (۱۵۹۱) رخ داده است:^[۵]^[۶]: مقادیری که به تناسب طبیعت خود از یک نوع به نوع دیگر صعود یا نزول می‌کنند، ممکن است جملات اسکالر نامیده شوند.: (لاتین: Magnitudines quae ex genere ad genus sua vi proportionaliter adscendunt vel descendunt, vocentur Scalares. )

بر اساس استنادی در فرهنگ انگلیسی آکسفورد، اولین کاربرد ثبت‌شده از اصطلاح «اسکالر» در انگلیسی با ویلیام همیلتون در سال ۱۸۴۶ همراه بود که به بخش حقیقی یک چهارگان اشاره داشت:: بخش جبری حقیقی ممکن است، بسته به مسئله‌ای که در آن رخ می‌دهد، تمام مقادیر موجود در یک مقیاس پیشروی اعداد از منفی تا مثبت بی‌نهایت را دریافت کند؛ بنابراین ما آن را بخش اسکالر می‌نامیم.

تعاریف و ویژگی‌ها

اسکالرها اعداد حقیقی هستند که در جبر خطی استفاده می‌شوند، برخلاف بردارها. این تصویر یک بردار اقلیدسی را نشان می‌دهد. مختصات x و y آن اسکالر هستند، همان‌طور که طول آن اسکالر است، اما v یک اسکالر نیست.

اسکالرهای فضاهای برداری

یک فضای برداری به عنوان مجموعه‌ای از بردارها (گروه آبلی جمعی)، مجموعه‌ای از اسکالرها (میدان) و یک عمل ضرب نرده‌ای تعریف می‌شود که یک اسکالر k و یک بردار v را می‌گیرد تا بردار دیگری به نام kv تشکیل دهد. برای مثال، در یک دستگاه مختصات، ضرب نرده‌ای $k(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})$ نتیجه $(kv_{1},kv_{2},\dots ,kv_{n})$ را می‌دهد. در یک فضای تابع (خطی)، $kf$ تابعی است که $x الگو:Mapsto k (f (x))$ .

اسکالرها می‌توانند از هر میدانی گرفته شوند، از جمله اعداد گویا، اعداد جبری، اعداد حقیقی و مختلط، و همچنین میدان‌های متناهی.

اسکالرها به عنوان مولفه‌های برداری

طبق یک قضیه بنیادی در جبر خطی، هر فضای برداری دارای یک پایه است. نتیجه می‌شود که هر فضای برداری روی یک میدان K با فضای مختصاتی متناظر یکریخت است که در آن هر مختصات شامل عناصری از K است (مثلاً مختصات (a₁, a₂,... , a_n) که در آن a_i ∈ K و n بعد فضای برداری مورد نظر است). برای مثال، هر فضای برداری حقیقی با بعد n با فضای حقیقی n-بعدی Rⁿ یکریخت است.

اسکالرها در فضاهای برداری نرم‌دار

به‌طور جایگزین، یک فضای برداری V می‌تواند به یک تابع نرم مجهز شود که به هر بردار v در V یک اسکالر ||v|| نسبت می‌دهد. طبق تعریف، ضرب v در یک اسکالر k، نرم آن را نیز در |k| ضرب می‌کند. اگر ||v|| به عنوان «طول» v تفسیر شود، این عمل را می‌توان به عنوان تجانس طول v توسط k توصیف کرد. فضای برداری مجهز به نرم، فضای برداری نرم‌دار نامیده می‌شود.

نرم معمولاً به گونه‌ای تعریف می‌شود که عنصری از میدان اسکالر K در V باشد، که دومی را به میدان‌هایی محدود می‌کند که از مفهوم علامت پشتیبانی می‌کنند. علاوه بر این، اگر V دارای بعد ۲ یا بیشتر باشد، K باید تحت ریشه دوم و همچنین چهار عمل اصلی حساب بسته باشد؛ بنابراین اعداد گویا Q مستثنی هستند، اما میدان گنگ درجه دو قابل قبول است. به همین دلیل، هر فضای ضرب داخلی یک فضای برداری نرم‌دار نیست.

اسکالرها در مدول‌ها

هنگامی که شرط تشکیل میدان توسط مجموعه اسکالرها کاهش می‌یابد به طوری که فقط نیاز به تشکیل یک حلقه باشد (به طوری که، برای مثال، تقسیم اسکالرها نیازی به تعریف نداشته باشد، یا اسکالرها نیازی به خاصیت جابه‌جایی نداشته باشند)، ساختار جبری کلی‌تر حاصل، مدول نامیده می‌شود.

در این حالت، «اسکالرها» ممکن است اشیاء پیچیده‌ای باشند. برای مثال، اگر R یک حلقه باشد، بردارهای فضای حاصل‌ضرب Rⁿ می‌توانند با ماتریس‌های n × n با درایه‌هایی از R به عنوان اسکالر، به یک مدول تبدیل شوند. مثال دیگر از نظریه منیفلد می‌آید، جایی که فضای بخش‌های بسته مماس یک مدول روی جبر توابع حقیقی روی منیفلد تشکیل می‌دهد.

نگاشت تجانس

ضرب نرده‌ای فضاهای برداری و مدول‌ها، حالت خاصی از تجانس است که نوعی نگاشت خطی محسوب می‌شود.

جستارهای وابسته

پانویس

↑ Lay, David C. (2006). Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.). Addison–Wesley. ISBN 0-321-28713-4.
↑ Strang, Gilbert (2006). Linear Algebra and Its Applications (4th ed.). Brooks Cole. ISBN 0-03-010567-6.
↑ Axler, Sheldon (2002). Linear Algebra Done Right (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-98258-2.
↑ Mathwords.com – Scalar
↑ Vieta, Franciscus (1591). In artem analyticem isagoge seorsim excussa ab Opere restitutae mathematicae analyseos, seu Algebra noua [Guide to the analytic art [...] or new algebra] (in Latin). Tours: apud Iametium Mettayer typographum regium. p. 4 (verso). Retrieved 2015-06-24.
↑ http://math.ucdenver.edu/~wcherowi/courses/m4010/s08/lcviete.pdf Lincoln Collins. Biography Paper: Francois Viete

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «[en:Scalar (mathematics) Scalar (mathematics)]». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

پیوند به بیرون

"Scalar". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
Weisstein, Eric W. "Scalar". MathWorld.
Mathwords.com – Scalar

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «[en:Template:Linear algebra Template:Linear algebra]». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

[1] Lay, David C. (2006). Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.). Addison–Wesley. ISBN 0-321-28713-4.

[2] Strang, Gilbert (2006). Linear Algebra and Its Applications (4th ed.). Brooks Cole. ISBN 0-03-010567-6.

[3] Axler, Sheldon (2002). Linear Algebra Done Right (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-98258-2.

[4] Mathwords.com – Scalar

[5] Vieta, Franciscus (1591). In artem analyticem isagoge seorsim excussa ab Opere restitutae mathematicae analyseos, seu Algebra noua [Guide to the analytic art [...] or new algebra] (in Latin). Tours: apud Iametium Mettayer typographum regium. p. 4 (verso). Retrieved 2015-06-24.

[6] ttp://math.ucdenver.edu/~wcherowi/courses/m4010/s08/lcviete.pdf Lincoln Collins. Biography Paper: Francois Viete

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]

[۵]

[۶]

جبر خطی
طرح کلی واژه‌نامه الگو: رده‌های ماتریس
معادله‌های خطی	معادله خطی دستگاه معادلات خطی دترمینان کهاد فرمول کوشی-بینه قاعده کرامر حذف گاوسی حذف گاوسی بیش‌معینی الگوریتم استراسن
ماتریس‌ها	ماتریس جمع ماتریسی ضرب ماتریسی ماتریس تغییر پایه چندجمله‌ای مشخصه طیف ماتریس اثر مقدارویژه و بردارویژه قضیه کیلی-همیلتون فرم نرمال جردن فرم کانونی ویر رتبه وارون، شبه‌وارون الحاقی، ترانهاده ضرب داخلی ماتریس متقارن، ماتریس پادمتقارن ماتریس متعامد، ماتریس یکانی ماتریس هرمیتی، ماتریس پادهرمیتی معین (نیمه‌)مثبت پفافین تصویر قضیه طیفی قضیه پرون-فربنیوس ماتریس قطری، ماتریس مثلثی، ماتریس سه‌قطری ماتریس بلوک ماتریس خلوت ماتریس هسنبرگ، ماتریس هسین ماتریس وندرموند ماتریس تصادفی، ماتریس توپلیتز، ماتریس چرخشی، ماتریس هنکل ماتریس منطقی فهرست ماتریس‌ها
تجزیه‌های ماتریس	تجزیه چولیسکای تجزیه ال‌یو تجزیه کیوآر تجزیه قطبی قضیه طیفی تجزیه مقدارهای منفرد تجزیه مقدارهای منفرد مرتبه بالاتر تجزیه شور مکمل شور فرمول جمع‌پذیری اینرسی هاینزورث زیرفضای کاهشی
روابط و محاسبات	هم‌ارزی ماتریس همنهشتی ماتریس تشابه ماتریس هم‌تشابهی ماتریس هم‌ارزی سطری ماتریس مقدماتی تبدیل هاوس‌هولدر کمترین مربعات کمترین مربعات خطی الگوریتم گرام اشمیت همانی ماتریس وودبری
فضاهای برداری	فضای برداری ترکیب خطی پوشش خطی استقلال خطی پایه، پایه همل تغییر پایه قضیه بعد برای فضاهای برداری بعد همل نمونه‌هایی از فضاهای برداری نگاشت خطی نگاشت برشی نگاشت فشاری زیرفضای خطی فضاهای سطری و ستونی، هسته قضیه رتبه-پوچی قضیه پوچی زیرفضای دوری فضای دوگان، حالت خطی رده فضاهای برداری
ساختارها	فضای برداری توپولوژیکی فضای برداری نرم‌دار فضای ضرب داخلی فضای اقلیدسی تعامد مکمل متعامد تصویر متعامد گروه متعامد فضای شبه‌اقلیدسی بردار پوچ گروه متعامد نامعین گرایش دوران نامناسب هندسه سیمپلکتیک
جبر چندخطی	جبر چندخطی تانسور تانسور رفتار بدون مولفه تانسورها ضرب خارجی جبر تانسوری جبر خارجی جبر متقارن جبر کلیفورد جبر هندسی دوبردار چندبردار قضیه گاماس
آفین و تصویری	فضای آفین تبدیل آفین، گروه آفین، هندسه آفین فضای آفین، تخت (هندسه) دستگاه مختصات دکارتی گروه اقلیدسی گروه پوانکاره تبدیلات گالیله فضای تصویری تبدیل تصویری هندسه تصویری گروه خطی تصویری رویه مربعی
جبر خطی عددی	جبر خطی عددی محاسبات ممیز شناور پایداری عددی زیربرنامه‌های پایه جبر خطی ماتریس خلوت مقایسه کتابخانه‌های جبر خطی
رده