ماتریس مقدماتی

این عمل تمام درایه‌های دو سطر ماتریس را (نظیر به نظیر) با یکدیگر جابه‌جا می‌کند.^[۱] این عملیات را می‌توان با نماد ${\displaystyle R_{i}\leftrightarrow R_{j}}$ نشان داد.

مثال: با جابه‌جا کردن سطر ۲ و ۳ در ماتریس ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}}$ ماتریس ${\displaystyle T_{2,3}A={\begin{bmatrix}1&2&3\\7&8&9\\4&5&6\end{bmatrix}}}$ به دست می‌آید.

ماتریس مقدماتی متناظر با این عمل ${\displaystyle T_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&&\\&&1&&&&&\\&&&0&&1&&\\&&&&\ddots &&&\\&&&1&&0&&\\&&&&&&1&&\\&&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&&1\end{bmatrix}}}$ با جابه‌جا کردن سطر ${\displaystyle i,j}$ در ${\displaystyle I}$ به دست می‌آید.

• ${\displaystyle T_{i,j}^{-1}=T_{i,j}}$
• دترمینان ${\displaystyle |T_{i,j}|=-1}$ است. در نتیجه ${\displaystyle |T_{i,j}A|=|AT_{i,j}|=-|A|}$. یعنی با جابه‌جا کردن سطرها یا ستون‌‌های یک ماتریس دترمینان آن منفی می‌شود.

با این عمل می‌توان درایه‌های یک سطر ماتریس را در یک ثابت اسکالر ناصفر ضرب کرد.^[۱] این عملیات را می‌توان با نماد ${\displaystyle R_{i}\leftarrow kR_{i}}$ نشان داد.

مثال: با ضرب ۳ در سطر دوم ماتریس ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}}$ ماتریس ${\displaystyle D_{2,3}A={\begin{bmatrix}1&2&3\\12&15&18\\7&8&9\end{bmatrix}}}$ به دست می‌آید.

ماتریس مقدماتی متناظر با این عمل ${\displaystyle D_{i,c}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&c&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$ با ضرب ${\displaystyle c}$ در سطر ${\displaystyle i}$-ام ${\displaystyle I}$ به دست می‌آید.

• ${\displaystyle D_{i,c}^{-1}=D_{i,{1 \over c}}}$
• این ماتریس و وارونش قطری است.
• دترمینان ${\displaystyle |D_{i,c}|=c}$ است. در نتیجه ${\displaystyle |D_{i,c}A|=|AD_{i,c}|=c|A|}$. یعنی با ضرب ${\displaystyle c}$ در یک سطر یا ستون یک ماتریس دترمینان آن نیز در ${\displaystyle c}$ ضرب می‌شود.

در این عمل مضربی از یک سطر را به یک سطر دیگر اضافه می‌کنیم.^[۱] این عملیات را می‌توان با نماد ${\displaystyle R_{i}\leftarrow R_{i}+kR_{j}}$ نشان داد.

مثال: ۲-برابر سطر یکم ماتریس ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}}$ را به سطر دوم آن اضافه می‌کنیم: ${\displaystyle L_{2,1,-2}A={\begin{bmatrix}1&2&3\\2&1&0\\7&8&9\end{bmatrix}}}$

ماتریس مقدماتی متناظر با این عمل ${\displaystyle L_{i,j,c}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&c&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$ با اضافه کردن ${\displaystyle c}$-برابر در سطر ${\displaystyle j}$-ام به سطر ${\displaystyle i}$-ام ${\displaystyle I}$ به دست می‌آید.

• ${\displaystyle L_{i,j,c}^{-1}=-L_{i,j,c}}$
• این ماتریس و وارونش مثلثی هستند.
• دترمینان ${\displaystyle |L_{i,j,c}|=1}$ است. در نتیجه ${\displaystyle |L_{i,j,c}A|=|AL_{i,j,c}|=|A|}$. یعنی با اضافه کردن مضارب سطری به سطر دیگر یا ستونی به ستون دیگر در یک ماتریس دترمینان آن ثابت می‌ماند.