ماتریس معین

در بحث تعیین علامت عبارت‌های ریاضی، برخی توابع به ازای تمام مقادیر متغیرهایشان، مثبت و برخی توابع، به ازای تمام مقادیر متغیرهایشان منفی هستند که به ترتیب، توابع با علامت معین (یا به اختصار معین) نامیده می شوند و به توابعی که گاهی مثبت و گاهی منفی هستند توابع نامعین می گویند. بحث تعیین علامت در کتاب‌های ریاضی دبیرستان در سطحی مقدماتی ارائه می شود. برای تعیین علامت عبارت‌های درجه ۲ همگن شامل ${\displaystyle n}$ متغیر ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}}$ به طور کلی به صورت

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}}=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }A\mathbf {x} .}$

که در آن ضرایب ثابت را در یک ماتریس مانند ${\displaystyle A}$ می‌نویسیم و مجهولات را در قالب بردار مجهولات ${\displaystyle x}$ نشان می‌دهیم. حال اگر برای همه مقادیر مختلف بردار ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x^{*}Ax\geq 0}$

گوییم عبارت داده شده (و همچنین ماتریس نمایش ${\displaystyle A}$) معین مثبت است.^[۱]

ثابت می‌شود در ماتریس‌های هرمیتی:

اگر همه مقادیر ویژه ماتریس ${\displaystyle A}$ مثبت باشند، ${\displaystyle A}$ معین مثبت است.^[۲]

اگر همه مینورهای ماتریس (دترمینان ماتریس‌های پیشرو)، مثبت باشند ماتریس معین مثبت است.