توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته

بارندورف-نیلسن (O. Barndorff-Nielsen) و هالگرین (C. Halgreen) اثبات کردند که توزیع GIG بی‌نهایت تقسیم‌پذیر است.^[۱]

آنتروپی توزیع GIG به صورت زیر داده میشود:

${\displaystyle {\begin{aligned}H={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {b}{a}}\right)&{}+\log \left(2K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)\right)-(p-1){\frac {\left[{\frac {d}{d\nu }}K_{\nu }\left({\sqrt {ab}}\right)\right]_{\nu =p}}{K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)}}\\&{}+{\frac {\sqrt {ab}}{2K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)}}\left(K_{p+1}\left({\sqrt {ab}}\right)+K_{p-1}\left({\sqrt {ab}}\right)\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle X}$ و ${\displaystyle Y}$ را دو متغیر تصادفی مستقل از هم در نظر بگیرید به طوری که ${\displaystyle X>0}$ و ${\displaystyle Y\sim \gamma (p,{\frac {a}{2}})}$ برای ${\displaystyle p,a>0}$. در این صورت داریم ${\displaystyle X=d{\frac {1}{Y+X}}}$ اگر و فقط اگر ${\displaystyle X\sim GIG(-p,a,a)}$.

${\displaystyle X}$، ${\displaystyle Y_{1}}$ و ${\displaystyle Y_{2}}$ را سه متغیر تصادفی مستقل از هم در نظر بگیرید به طوری که ${\displaystyle X>0}$، ${\displaystyle Y_{1}\sim \gamma (p,{\frac {b}{2}})}$ و ${\displaystyle Y_{2}\sim \gamma (p,{\frac {a}{2}})}$ برای ${\displaystyle p,a,b>0}$. در این صورت داریم ${\displaystyle X=d{\frac {1}{Y_{1}+{\frac {1}{Y_{2}+X}}}}}$ اگر و فقط اگر ${\displaystyle X\sim GIG(-p,a,b)}$.

به طور کلی اگر ${\displaystyle (Y_{i})_{i\geq 1}}$ یک دنباله از متغیر تصادفی‌های مستقل از هم باشد به طوری که ${\displaystyle {\mathcal {L}}(Y_{2i-1})={\mathcal {L}}(Y_{1})=\gamma (\lambda ,{\frac {b}{2}})}$ و ${\displaystyle {\mathcal {L}}(Y_{2i})={\mathcal {L}}(Y_{2})=\gamma (\lambda ,{\frac {a}{2}})}$ برای ${\displaystyle i\geq 1}$، آنگاه داریم:

${\displaystyle {\mathcal {L}}{\Biggl (}{\frac {1}{Y_{1}+{\frac {1}{Y_{2}+{\frac {1}{Y_{3}+{}^{._{._{.}}}}}}}}}{\Biggr )}=GIG(-\lambda ,a,b)}$.^[۴]

دو متغیر تصادفی مثبت و مستقل از هم ${\displaystyle X}$ و ${\displaystyle Y}$ را در نظر بگیرید به طوری که ${\displaystyle X\sim GIG(-p,a,b)}$ و ${\displaystyle Y\sim \Gamma (p,{\frac {a}{2}})}$ برای ${\displaystyle p,a,b>0}$. خاصیت Matsumoto-Yor بیان می‌کند که متغیر تصادفی‌های ${\displaystyle U={\frac {1}{X+Y}}}$ و ${\displaystyle V={\frac {1}{X}}-{\frac {1}{X+Y}}}$ از هم مستقل هستند.^[۵]