توزیع برنولی

برنولی

پارامترها	${\displaystyle p>0\,}$ شانس موفقیت (حقیقی)
تکیه‌گاه	${\displaystyle k=\{0,1\}\,}$
تابع چگالی احتمال	${\displaystyle {\begin{matrix}q&{\mbox{for }}k=0\\p~~&{\mbox{for }}k=1\end{matrix}}}$
تابع توزیع تجمعی	${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{for }}k<0\\q&{\mbox{for }}0\leq k<1\\1&{\mbox{for }}k\geq 1\end{matrix}}}$
میانگین	${\displaystyle p\,}$
میانه	N/A
مُد	${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{if }}q>p\\0,1&{\mbox{if }}q=p\\1&{\mbox{if }}q<p\end{matrix}}}$
واریانس	${\displaystyle pq\,}$
چولگی	${\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}}$
کشیدگی	${\displaystyle {\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}}$
آنتروپی	${\displaystyle -q\ln(q)-p\ln(p)\,}$
تابع مولد گشتاور	${\displaystyle q+pe^{t}\,}$
تابع مشخصه	${\displaystyle q+pe^{it}\,}$

توزیع برنولی، توزیعی گسسته است که نام آن از نام دانشمند سوئیسی ژاکوب برنولی گرفته شده‌است. توزیع برنولی یک توزیع گسسته است که مقادیر یک (در صورت موفقیت آزمایش ) و صفر را (در صورت شکست) می‌گیرد. احتمال موفقیت آزمایش برابر p است و احتمال شکست آن برابر q=1-p است. بنابراین اگر X یک متغیر تصادفی با توزیع برنولی باشد داریم:

${\displaystyle \Pr(X=1)\!}$ ${\displaystyle \;1-\Pr(X=0)=\!}$ ${\displaystyle 1-q=p.\!}$

و تابع توزیع (pmf) آن به صورت زیر خواهد بود:

${\displaystyle f(k;p)=\left\{{\begin{matrix}p&{\mbox{if }}k=1,\\1-p&{\mbox{if }}k=0,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{matrix}}\right.}$

امید ریاضی این توزیع برابر p و واریانس آن برابر (p(1-p است.

کشیدگی این توزیع برای مقادیر p نزدیک به صفر یا یک، به سمت بی‌نهایت میل می‌کند و برای p=۰٫۵ کمترین مقدار کشیدگی را خواهیم داشت.

توزیع برنولی جزء خانواده نمایی طبقه‌بندی می‌شود.

اگر ${\displaystyle X_{1},..,X_{n}}$ متغیرهای تصادفی با توزیع برنولی با پارامتر یکسان و مستقل باشند، آنگاه متغیر تصادفی ${\displaystyle Y=\sum _{k=1}^{n}X_{k}\sim \mathrm {Binomial} (n,p)}$ یک توزیع دوجمله‌ای خواهد بود. در واقع توزیع برنولی همان توزیع دوجمله‌ای با پارامتر n=۱ یعنی ${\displaystyle \mathrm {Binomial} (1,p)}$ خواهد بود. در واقع، تابع جرم توزیع دوجمله ای به صورت زیر می‌باشد.

${\displaystyle P(x)={\binom {n}{x}}p^{x}(1-p)^{n-x}}$