ماتریس صفر

در ریاضیات، به‌ویژه در جبر خطی، یک ماتریس صفر (به انگلیسی: zero matrix یا null matrix) ماتریسی است که همهٔ درایه‌های آن صفر هستند. این ماتریس همچنین به عنوان عنصر همانی جمع در گروه جمعی ماتریس‌های $m\times n$ عمل می‌کند و با نماد $O$ یا $0$ به همراه زیرنویس‌هایی متناظر با ابعاد ماتریس بر حسب نیاز متن نمایش داده می‌شود. چند نمونه از ماتریس‌های صفر عبارتند از::

$0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.\$

ویژگی‌ها

مجموعهٔ ماتریس‌های $m\times n$ با درایه‌هایی در یک حلقهٔ K، حلقه‌ای به صورت $K_{m,n}$ تشکیل می‌دهد. ماتریس صفر $0_{K_{m,n}}\,$ در $K_{m,n}\,$ ماتریسی است که تمامی درایه‌های آن برابر با $0_{K}\,$ است، که در آن $0_{K}$ نشان‌دهندهٔ همانی جمع در K است.$0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}_{m\times n}$

ماتریس صفر، عضو همانی جمع در $K_{m,n}\,$ است. بدین معنا که برای هر ماتریس $A\in K_{m,n}\,$ در معادلهٔ زیر صدق می‌کند::$0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A.$

برای هر بعد مفروض m×n (با درایه‌هایی از یک حلقهٔ مشخص)، دقیقاً یک ماتریس صفر وجود دارد؛ بنابراین هنگامی که زمینهٔ بحث روشن است، اغلب از عبارت «ماتریس صفر» یاد می‌شود. به‌طور کلی، عنصر صفر در یک حلقه یکتا است و نوعاً با ۰ بدون هیچ‌گونه زیرنویسی که نشان‌دهندهٔ حلقهٔ مبدأ باشد نمایش داده می‌شود؛ از این رو مثال‌های بالا بیانگر ماتریس‌های صفر بر روی هر حلقه‌ای هستند.

ماتریس صفر همچنین نمایانگر تبدیل خطی است که همهٔ بردارها را به بردار صفر می‌نگارد. این ماتریس یک ماتریس خودتوان است، به این معنی که در صورت ضرب در خودش، حاصل برابر با خود آن خواهد بود.

ماتریس صفر تنها ماتریسی است که رتبهٔ آن ۰ است.

کاربردها

در رگرسیون کمترین مربعات معمولی، در صورت برازش کامل روی داده‌ها، ماتریس نابودگر یک ماتریس صفر خواهد بود.

جستارهای وابسته

• ماتریس همانی، همانی ضربی برای ماتریس‌ها
• ماتریس یک‌ها، ماتریسی که تمام عناصر آن یک هستند
• ماتریس پوچ‌توان
• یکا ماتریس، ماتریسی که به جز یک عنصر، سایر عناصر آن صفر هستند