تعمیم‌های اعداد فیبوناچی

در ریاضیات، اعداد فیبوناچی یک دنباله را تشکیل می‌دهند که به‌صورت بازگشتی چنین تعریف می‌شود:

$F_{n}={\begin{cases}0&n=0\\1&n=1\\F_{n-1}+F_{n-2}&n>1\end{cases}}$

بدین معنا که پس از دو مقدار آغازین، هر عدد حاصل‌جمع دو عدد پیش از خود است.

دنباله فیبوناچی به‌طور گسترده مورد پژوهش قرار گرفته و به روش‌های گوناگونی تعمیم یافته است؛ برای نمونه از طریق آغاز با اعدادی جز ۰ و ۱، افزودن بیش از دو عدد برای ساخت عدد بعدی، یا افزودن نهادهایی جز اعداد.

گسترش به اعداد صحیح منفی

با بهره‌گیری از رابطه $F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1}$، می‌توان اعداد فیبوناچی را به اعداد صحیح منفی گسترش داد؛ بنابراین خواهیم داشت:

... −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

و $F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}$.

همچنین کدگذاری نگافیبوناچی را ببینید.

گسترش به همه اعداد حقیقی یا مختلط

چندین تعمیم ممکن برای اعداد فیبوناچی وجود دارد که اعداد حقیقی (و گاهی اعداد مختلط) را در دامنه خود جای می‌دهند. هر یک از این تعمیم‌ها شامل نسبت طلایی φ بوده و بر پایۀ فرمول بینه استوارند:

$F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}$.

تابع تحلیلی

$\operatorname {Fe} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}$

دارای این ویژگی است که برای اعداد صحیح زوج $n$ داریم $\operatorname {Fe} (n)=F_{n}$. به همین ترتیب، تابع تحلیلی:

$\operatorname {Fo} (x)={\frac {\varphi ^{x}+\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}$

برای اعداد صحیح فرد $n$ در رابطه $\operatorname {Fo} (n)=F_{n}$ صدق می‌کند.

سرانجام با کنار هم نهادن این دو، تابع تحلیلیِ

$\operatorname {Fib} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(x\pi )\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}$

برای همه اعداد صحیح $n$ در رابطه $\operatorname {Fib} (n)=F_{n}$ صدق می‌کند.

از آنجا که برای همه اعداد مختلط $z$ رابطه $\operatorname {Fib} (z+2)=\operatorname {Fib} (z+1)+\operatorname {Fib} (z)$ برقرار است، این تابع تعمیمی از دنباله فیبوناچی را به کل صفحه مختلط نیز فراهم می‌آورد؛ بنابراین می‌توان تابع تعمیم‌یافته فیبوناچی را برای متغیرهای مختلط نیز محاسبه کرد، برای نمونه:

$\operatorname {Fib} (3+4i)\approx -5248.5-14195.9i$

با این حال، این گسترش به‌هیچ‌وجه یکتا نیست؛ برای نمونه هر یک از توابعِ

$\operatorname {Fib} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(kx\pi )\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}$ یا

$\operatorname {Fib} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\exp(ikx\pi )\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}$

به ازای هر عدد صحیح فرد k، گسترشی از دنباله اعداد فیبوناچی به تمام صفحه مختلط به‌شمار می‌روند؛ همان‌طور که هر ترکیب خطی از آن‌ها که مجموع ضرایبش برابر ۱ باشد نیز چنین است.

فضای برداری

اصطلاح دنباله فیبوناچی به‌صورت کلی‌تر به هر تابع $g$ از اعداد صحیح به یک میدان که در آن $g(n)=g(n-1)+g(n-2)$ برقرار باشد نیز اطلاق می‌شود. این توابع دقیقاً همان‌هایی هستند که به شکل ${\displaystyle }$ نوشته می‌شوند؛ بنابراین دنباله‌های فیبوناچی یک فضای برداری پدید می‌آورند که توابع $F(n)$ و $F(n-1)$ نقش پایۀ آن را دارند.

به‌طور کلی‌تر، هم‌دامنه $g$ را می‌توان هر گروه آبلی (در نظر گرفته‌شده به‌عنوان یک Z-مدول) در نظر گرفت. در این حالت دنباله‌های فیبوناچی به همان شیوه یک Z-مدول دوبعدی را تشکیل می‌دهند.

دنباله‌های صحیح مشابه

دنباله‌های صحیح فیبوناچی

مدول دوبعدی $\mathbb {Z}$ از دنباله‌های صحیح فیبوناچی شامل تمام دنباله‌های صحیحی است که در رابطه $g(n)=g(n-1)+g(n-2)$ صدق می‌کنند. بر حسب دو مقدار نخستین، چنین داریم:

$g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)=g(1){\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}+g(0){\frac {\varphi ^{n-1}-(-\varphi )^{1-n}}{\sqrt {5}}},$

که در آن $\varphi$ همان نسبت طلایی است.

نسبت میان دو جمله پیاپی به نسبت طلایی همگرا می‌شود، مگر در حالت دنباله‌ای که همواره صفر است و دنباله‌هایی که نسبت دو جمله نخست آن‌ها برابر با $(-\varphi )^{-1}$ باشد.

این دنباله را می‌توان به شکل زیر نوشت:

$a\varphi ^{n}+b(-\varphi )^{-n},$

که در آن $a=0$ اگر و تنها اگر $b=0$ باشد. در این ساختار، ساده‌ترین حالت غیربدیهی دارای $a=b=1$ است که دنباله اعداد لوکاس را تشکیل می‌دهد:

$L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}$.

در اینجا $L_{1}=1$ و $L_{2}=3$ است. ویژگی‌های آن عبارتند از:

${\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{\!n}={\frac {L(n)+F(n){\sqrt {5}}}{2}},\\L(n)&=F(n-1)+F(n+1).\end{aligned}}$

هر دنباله صحیحِ غیربدیهی فیبوناچی (احتمالاً پس از جابه‌جایی به شمار متناهی از جایگاه‌ها) به‌عنوان یکی از سطرهای آرایه وایتوف نمایان می‌شود. خود دنباله فیبوناچی سطر نخست است و تغییر مکان‌یافته‌ای از دنباله لوکاس سطر دوم را تشکیل می‌دهد.

همچنین دنباله‌های صحیح فیبوناچی به هنگ n را ببینید.

دنباله‌های لوکاس

گونه دیگری از تعمیم دنباله فیبوناچی، دنباله‌های لوکاس هستند که به این شکل تعریف می‌شوند:

${\begin{aligned}U(0)&=0\\U(1)&=1\\U(n+2)&=PU(n+1)-QU(n),\end{aligned}}$

که در آن دنباله معمول فیبوناچی حالت ویژه‌ای با $P=1$ و $Q=-1$ است. نوع دیگری از دنباله لوکاس با $V(0)=2$ و $V(1)=P$ آغاز می‌شود. چنین دنباله‌هایی در نظریه اعداد و اثبات اول بودن اعداد کاربرد دارند.

هنگامی که $Q=-1$ باشد، این دنباله را دنباله P-فیبوناچی می‌نامند؛ برای نمونه، به دنباله پل دنباله ۲-فیبوناچی نیز گفته می‌شود.

دنباله ۳-فیبوناچی عبارت است از:

0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835050, 55602393, 183642229, 606529080, ... (دنباله A006190 در OEIS)

دنباله ۴-فیبوناچی عبارت است از:

0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 567451585, 2403763488, ... (دنباله A001076 در OEIS)

دنباله ۵-فیبوناچی عبارت است از:

0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1923838285, 9989688826, ... (دنباله A052918 در OEIS)

دنباله ۶-فیبوناچی عبارت است از:

0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 2921503573, 18003116202, ... (دنباله A005668 در OEIS)

ثابت k-فیبوناچی نسبتی است که جملات مجاور در اعداد $k$-فیبوناچی به سوی آن میل می‌کنند؛ به این نسبت kامین نسبت فلزی نیز گفته می‌شود و تنها ریشه مثبت معادلۀ $x^{2}-kx-1=0$ است. برای نمونه، حالت $k=1$ برابر با ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ یا همان نسبت طلایی است، و حالت $k=2$ برابر با $1+{\sqrt {2}}$ یا همان نسبت نقره‌ای است. در حالت کلی برای $k$، این مقدار برابر با ${\frac {k+{\sqrt {k^{2}+4}}}{2}}$ خواهد بود.

در حالت کلی، می‌توان $U(n)$ را دنباله (P,−Q)-فیبوناچی و V(n) را دنباله (P,−Q)-لوکاس نامید.

دنباله (۱،۲)-فیبوناچی عبارت است از:

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, ... (دنباله A001045 در OEIS)

دنباله (۱،۳)-فیبوناچی عبارت است از:

1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 508, 1159, 2683, 6160, 14209, 32689, 75316, 173383, 399331, 919480, 2117473, 4875913, 11228332, 25856071, 59541067, ... (دنباله A006130 در OEIS)

دنباله (۲،۲)-فیبوناچی عبارت است از:

0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2781184, 7598336, 20759040, 56714752, ... (دنباله A002605 در OEIS)

دنباله (۳،۳)-فیبوناچی عبارت است از:

0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27663363, 104879772, 397629405, 1507527531, 5715470808, ... (دنباله A030195 در OEIS)

اعداد فیبوناچی مرتبه بالاتر

یک دنباله فیبوناچی از مرتبه k، که دنباله k-ناچی نیز نامیده می‌شود، دنباله‌ای از اعداد صحیح است که در آن هر عضو دنباله برابر با مجموع $k$ عضو پیش از خود است (به‌استثنای $k$ عضو نخست دنباله). اعداد معمول فیبوناچی همان دنباله فیبوناچی از مرتبه ۲ هستند. شمار ترکیب‌های اعداد صحیح نانفی به بخش‌هایی با حداکثر اندازه $k$، یک دنباله فیبوناچی از مرتبه $k$ است. همچنین دنباله شمار رشته‌های متشکل از ۰ و ۱ به طول $m$ که حداکثر شامل $k$ صفر پیاپی باشند، یک دنباله فیبوناچی از مرتبه $k$ را تشکیل می‌دهد.

این دنباله‌ها، نسبت‌های حدی آن‌ها، و حد این نسبت‌های حدی در سال ۱۹۱۳ توسط مارک بار بررسی شدند.

اعداد تریبوناچی

یکی از گونه‌های دنباله اعداد فیبوناچی، دنباله اعداد تریبوناچی است که در آن هر عدد حاصل‌جمع سه عدد پیش از خود است. با شروع از مقادیر نخستین $T_{0}=T_{1}=0$ و $T_{2}=1$، رابطه بازگشتی $$T_{n}=T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3},\qquad \qquad (1)$$ این دنباله عددی را به دست می‌دهد: $$0,0,1,1,2,4,7,13,24,44,81,149,274,504,927,1705,3136,5768,10609,19513,35890,66012,\ldots .$$ جملات بعدی را می‌توان ذیل شماره دنباله A000073 در دانشنامه برخط دنباله‌های صحیح (OEIS) یافت.

دنباله تریبوناچی تاریخچه‌ای طولانی و جالب توجه دارد. شاخص‌ترین رخداد تاریخی مرتبط با این دنباله به چارلز داروین (۱۸۰۹–۱۸۸۲) و کتاب بنیادین او یعنی خاستگاه گونه‌ها پیوند دارد؛ جایی که زادآوری و رشد جمعیت فیل‌ها به‌عنوان یک نمونه تشریحی بررسی شده است. در سال ۱۸۹۲، این دنباله عددی در حل یک مسئله ریاضیات تفریحی درباره کشاورزی و پرورش گوسفندان پدیدار شد که توسط ریاضی‌دان آمریکایی آرتمس مارتین (۱۸۳۵–۱۹۱۸) مطرح شده بود. نخستین بررسی ریاضیاتی دنباله تریبوناچی و واکاوی ویژگی‌های آن در سال ۱۹۱۴ توسط آگرونوموف انجام گرفت. نام تریبوناچی بسیار دیرتر و در سال ۱۹۶۳ پدید آمد؛ زمانی که مارک فاینبرگ، دانش‌آموز ۱۴ ساله دوره دبیرستان، این اصطلاح را در مقاله‌ای در نشریه فیبوناچی کوارترلی معرفی کرد.

اتحاد آگرونوموف. یادداشت سال ۱۹۱۴ آگرونوموف اثر ارزشمندی بود که نادیده گرفته شد، در آن زمان تاثیری برجای نگذاشت و بیش از نیم‌قرن به فراموشی سپرده شد. هرچند این یادداشت بسیار کوتاه بود (بازنشر امروزی آن به‌آسانی در یک صفحه جای می‌گیرد)، اما دربردارندۀ اتحاد کارآمد زیر است: $$T_{n+k}=T_{k+1}T_{n+1}+\left(T_{k}+T_{k-1}\right)T_{n}+T_{k}T_{n-1}.\qquad \qquad (2)$$ شایان توجه است که اتحاد آگرونوموف نسبت به $n$ و $k$ متقارن است و به ازای $k=2$، همان رابطۀ بازگشتی نخستین تریبوناچی به‌دست می‌آید. آگرونوموف این رابطه را با این فرض استخراج کرد که هر دو پارامتر $n$ و $k$ اعداد صحیح نامنفی باشند. با این حال، می‌توان نشان داد که این اتحاد کلی‌تر است و با گسترش رابطۀ بازگشتی (۱) به اعداد تریبوناچی با اندیس منفی، برای اعداد صحیح دلخواه $n$ و $k$ نیز برقرار خواهد بود. آگرونوموف یادداشت خود را با نمایش «ویژگی‌های چشمگیر» زیر از اعداد تریبوناچی به پایان می‌برد: $$T_{2n}=T_{n+1}^{2}+2T_{n}T_{n-1}+T_{n}^{2}\quad \mathrm {and} \quad T_{2n-1}=T_{n-1}^{2}+2T_{n}T_{n+1}-T_{n}^{2}.\qquad \qquad (3)$$ این روابط به‌سادگی با قرار دادن $k=n$ و $k=n-1$ از اتحاد او به‌دست می‌آیند. از این دو اتحاد به نوبۀ خود می‌توان برای به‌دست آوردن عبارتی ساده جهت محاسبۀ مجموع مربعات اعداد تریبوناچی بهره گرفت.

فرمول بازتاب. همانند اعداد فیبوناچی، رابطۀ بازگشتی برای اعداد تریبوناچی را نیز می‌توان رو به عقب اجرا کرد. از روی $T_{2}$، $T_{1}$ و $T_{0}$ می‌توان $T_{-1}=1$ را تعیین کرد. از روی $T_{1}$، $T_{0}$ و $T_{-1}$ می‌توان $T_{-2}=-1$ را یافت، و به همین ترتیب ادامه داد. بدین ترتیب، مقادیر اعداد تریبوناچی برای اندیس‌های منفی کاملاً مشخص و معین هستند. با شروع از $T_{0}=0$، $T_{-1}=1$ و $T_{-2}=-1$ و وارون کردن رابطۀ بازگشتی تریبوناچی (۱)، دنبالۀ اعداد تریبوناچی با اندیس منفی چنین به‌دست می‌آید: $$0,1,-1,0,2,-3,1,4,-8,5,7,-20,18,9,-47,56,0,-103,159,-56,-206,421,-271,-356,1048,\ldots .$$ جملات بعدی را می‌توان ذیل شمارۀ دنبالۀ A057597 در دانشنامه برخط دنباله‌های صحیح (OEIS) یافت. گسترش به اندیس‌های منفی بدین معناست که می‌توان دنبالۀ تریبوناچی را به‌صورت یک دنبالۀ دوطرفه‌نامتناهی در نظر گرفت: $$\ldots ,-47,9,18,-20,7,5,-8,4,1,-3,2,0,-1,1,\mathbf {0} ,0,1,1,2,4,7,13,24,44,81,149,274,504,927,\ldots$$ که در آن مقدار اندیس صفر پررنگ نشان داده شده است. با پیمایش دنباله از چپ به راست، از رابطۀ بازگشتی (۱) استفاده می‌شود. با پیمایش دنباله از راست به چپ، از رابطۀ بازگشتی $T_{n}=T_{n+3}-T_{n+2}-T_{n+1}$ بهره گرفته می‌شود. رابطۀ میان بخش‌های با اندیس منفی و مثبت از دنبالۀ تریبوناچی به‌صورت زیر بیان می‌شود: $$T_{-n}=T_{n+1}^{2}-T_{n}T_{n+2}.\qquad \qquad (4)$$ این اتحاد برای همۀ اعداد صحیح $n$ برقرار است و به‌عنوان فرمول بازتاب برای اعداد تریبوناچی شناخته می‌شود؛ این رابطه را می‌توان با استفاده از اتحاد آگرونوموف به‌دست آورد.

ثابت تریبوناچی $${\begin{aligned}\tau &={\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}\\&={\frac {1+4\cosh \left({\frac {1}{3}}\cosh ^{-1}\left({\frac {19}{8}}\right)\right)}{3}}\end{aligned}}$$ نسبتی است که اعداد مجاور تریبوناچی به سوی آن میل می‌کنند. این مقدار، تنها ریشۀ حقیقی $x=\tau$ از چندجمله‌ای $x^{3}-x^{2}-x-1=0$ با مقدار تقریبی ۷۰۰۰۱۸۳۹۲۸۶۷۵۵۲۱۴۱۶♠۱٫۸۳۹۲۸۶۷۵۵۲۱۴۱۶۱٫٫٫ (دنباله A058265 در OEIS) است، و در معادلۀ $x+x^{-3}=2$ نیز صدق می‌کند. این ثابت در بررسی مکعب پخ دارای اهمیت است.

رسم ثابت تریبوناچی با پرگار و خط‌کش نشانه‌دار بر پایۀ شرح خراردو نیرا. BC = τ − 1 و BD = ⁠1/τ⁠.

معکوس ثابت تریبوناچی تنها ریشۀ حقیقی $x={\tfrac {1}{\tau }}$ از معادلۀ $x^{3}+x^{2}+x-1=0$ است و می‌توان آن را به‌صورت زیر نوشت: $${\frac {1}{\tau }}={\frac {-1+{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{17-3{\sqrt {33}}}}}{3}}\,,$$ با مقدار تقریبی ۶۹۹۹۵۴۳۶۸۹۰۱۲۶۹۲۰۷۶♠۰٫۵۴۳۶۸۹۰۱۲۶۹۲۰۷۶٫٫٫ (دنباله A192918 در OEIS).

اعداد تریبوناچی را همچنین می‌توان از رابطۀ زیر به‌دست آورد: $$T_{n+1}=\left\lfloor 3b\,{\frac {\left({\frac {1}{3}}\left(a_{+}+a_{-}+1\right)\right)^{n}}{b^{2}-2b+4}}\right\rceil$$

که در آن $\lfloor \cdot \rceil$ نشان‌دهندۀ تابع نزدیک‌ترین عدد صحیح است و: $${\begin{aligned}a_{\pm }&={\sqrt[{3}]{19\pm 3{\sqrt {33}}}}\,,\\b&={\sqrt[{3}]{586+102{\sqrt {33}}}}\,.\end{aligned}}$$

متناظر با اعداد لوکاس برای دنبالۀ فیبوناچی، چنانچه محاسبات با $L_{0}=3$، $L_{1}=1$ و $L_{2}=3$ آغاز شود و رابطۀ بازگشتی تریبوناچی بر آن اِعمال گردد، آنگاه برای $n\geq 4$ خواهیم داشت: $L_{n}=\lfloor \tau ^{n}\rceil$ (دنباله A001644 در OEIS).

اعداد تتراناچی

اعداد تتراناچی با چهار جملۀ ازپیش‌تعیین‌شده آغاز می‌شوند و هر جملۀ پس از آن‌ها حاصل‌جمع چهار جملۀ پیشین است. نخستین اعداد تتراناچی عبارتند از:

0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, ۱۵، ۲۹، ۵۶، ۱۰۸، ۲۰۸، 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, … (دنباله A000078 در OEIS)

اصطلاح تتراناچی را نیز فاینبرگ ابداع کرد.

ثابت تتراناچی نسبتی است که اعداد مجاور تتراناچی به سوی آن میل می‌کنند. این مقدار، تنها ریشۀ حقیقی مثبت چندجمله‌ای $x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0$ با مقدار تقریبی ۷۰۰۰۱۹۲۷۵۶۱۹۷۵۴۸۲۹۲♠۱٫۹۲۷۵۶۱۹۷۵۴۸۲۹۲۵٫٫٫ (دنباله A086088 در OEIS) است، و در معادلۀ $x+x^{-4}=2$ نیز صدق می‌کند.

ثابت تتراناچی را می‌توان برحسب رادیکال‌ها به‌صورت عبارت زیر نشان داد:

$x={\frac {1}{4}}\!\left(1+{\sqrt {u}}+{\sqrt {11-u+{\frac {26}{\sqrt {u}}}}}\,\right)$

که در آن:

$u={\frac {1}{3}}\left(11-56{\sqrt[{3}]{\frac {2}{-65+3{\sqrt {1689}}}}}+2\cdot 2^{\frac {2}{3}}{\sqrt[{3}]{-65+3{\sqrt {1689}}}}\right)$

و $u$ ریشۀ حقیقی معادلۀ درجه‌سه ${\displaystyle }$ است.

متناظر با اعداد لوکاس برای دنبالۀ فیبوناچی، چنانچه محاسبات با $L_{0}=4$، $L_{1}=1$، $L_{2}=3$ و $L_{3}=7$ آغاز شود و رابطۀ بازگشتی تتراناچی اعمال گردد، آنگاه برای $n\geq 6$ خواهیم داشت: $L_{n}=\lfloor x^{n}\rceil$ (دنباله A073817 در OEIS).

اعداد پنتاناچی

0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, … (دنباله A001591 در OEIS)

ثابت پنتاناچی نسبتی است که اعداد مجاور پنتاناچی به سوی آن میل می‌کنند. این مقدار، تنها ریشۀ حقیقی چندجمله‌ای $x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0$ با مقدار تقریبی ۷۰۰۰۱۹۶۵۹۴۸۲۳۶۶۴۵۴۸♠۱٫۹۶۵۹۴۸۲۳۶۶۴۵۴۸۵٫٫٫ (دنباله A103814 در OEIS) است، و در معادلۀ $x+x^{-5}=2$ نیز صدق می‌کند.

اعداد هگزاناچی

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, … (دنباله A001592 در OEIS)

ثابت هگزاناچی نسبتی است که اعداد مجاور هگزاناچی به سوی آن میل می‌کنند. این مقدار، تنها ریشۀ حقیقی مثبت چندجمله‌ای $x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0$ با مقدار تقریبی ۷۰۰۰۱۹۸۳۵۸۲۸۴۳۴۲۴۳۲♠۱٫۹۸۳۵۸۲۸۴۳۴۲۴۳۲۶٫٫٫ (دنباله A118427 در OEIS) است، و در معادلۀ $x+x^{-6}=2$ نیز صدق می‌کند.

اعداد هپتاناچی

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808, … (دنباله A122189 در OEIS)

ثابت هپتاناچی نسبتی است که اعداد مجاور هپتاناچی به سوی آن میل می‌کنند. این مقدار، تنها ریشۀ حقیقی چندجمله‌ای $x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0$ با مقدار تقریبی ۷۰۰۰۱۹۹۱۹۶۴۱۹۶۶۰۵۰۳♠۱٫۹۹۱۹۶۴۱۹۶۶۰۵۰۳۵٫٫٫ (دنباله A118428 در OEIS) است، و در معادلۀ $x+x^{-7}=2$ نیز صدق می‌کند.

اعداد اوکتاناچی

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, ... (دنباله A079262 در OEIS)

اعداد انه‌آناچی

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272, ... (دنباله A104144 در OEIS)

اعداد اینفیناچی

دنبالۀ «اینفیناچی»، در صورت امکان تعریف، پس از شمار نامتناهی از صفرها به دنبالۀ زیر می‌رسد:

[..., 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

که صرفاً همان توان‌های دو است.

اعداد k-ناچی

حد نسبت جملات متوالی یک دنبالۀ $k$-ناچی به ریشه‌ای از معادلۀ $x+x^{-k}=2$ میل می‌کند ( A103814،  A118427،  A118428).

حد این نسبت به ازای هر $k\geq 2$، ریشۀ مثبت و یکتای معادلۀ مشخصۀ زیر است:

$x^{k}-\sum _{i=0}^{k-1}x^{i}=0$.

حالت ویژۀ $k=2$ همان دنبالۀ متداول فیبوناچی است که به نسبت طلایی $\varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}$ می‌انجامد.

فرمول‌های فوق برای نسبت‌ها حتی برای دنباله‌های $k$-ناچی با مقادیر اولیۀ دلخواه نیز برقرار است. با میل کردن $k$ به بی‌نهایت، این نسبت در حد به ۲ نزدیک می‌شود.

ریشۀ $x$ در بازۀ $2(1-2^{-k})<x<2$ جای دارد. هنگامی که $k$ زوج باشد، ریشۀ منفی معادلۀ مشخصه در بازۀ (−۱، ۰) قرار می‌گیرد. این ریشه و هر یک از ریشه‌های مختلط معادلۀ مشخصه، دارای قدر مطلقی در محدودۀ $3^{-k}<$ هستند.

سری مربوط به ریشۀ مثبت $x$ برای هر $k>0$ عبارت است از:

$2-2\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}{\binom {(k+1)i-2}{i-1}}{\frac {1}{2^{(k+1)i}}}$.

به ازای 5 ≤ k ≤ 11، معادلۀ مشخصه برحسب رادیکال‌ها پاسخی ندارد.

nامین عضو دنبالۀ k-ناچی به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$F_{n}^{(k)}=\left\lfloor {\frac {x^{n-1}(x-1)}{(k+1)x-2k}}\right\rceil \!,$

که در آن $\lfloor \cdot \rceil$ نشان‌دهندۀ تابع نزدیک‌ترین عدد صحیح و $x$ ثابت $k$-ناچی (نزدیک‌ترین ریشۀ معادلۀ $x+x^{-k}=2$ به ۲) است.

متناظر با اعداد لوکاس برای دنبالۀ فیبوناچی، چنانچه با $L_{0}=k$ و به ازای $0<n<k$ با $L_{n}=2^{n}-1$ آغاز کنیم و رابطۀ بازگشتی $k$-ناچی را برای محاسبۀ $L_{n}$ به ازای $n\geq k$ به‌کار ببریم، آنگاه برای مقادیر به‌اندازۀ کافی بزرگ $n$ خواهیم داشت $L_{n}=\lfloor x^{n}\rceil$، که در آن $x$ همان ثابت $k$-ناچی است. به همین شیوه، می‌توان با $L_{0}=k$ و به ازای $-k<n<0$ با $L_{n}=-1$ شروع کرد و سپس رابطۀ بازگشتی $k$-ناچی را برای محاسبۀ $L_{n}$ برای $n>0$ اعمال نمود.

مسئله‌ای در پرتاب سکه با دنبالۀ $k$-ناچی ارتباط دارد؛ احتمال اینکه در $m$ بار پرتاب یک سکۀ سالم، $k$ بار پشتِ متوالی رخ ندهد برابر با ${\frac {1}{2^{m}}}F_{m+2}^{(k)}$ است.

واژه فیبوناچی

به همانندی با همتای عددی آن، واژه فیبوناچی چنین تعریف می‌شود:

$F_{n}:=F(n):={\begin{cases}{\text{b}}&n=0;\\{\text{a}}&n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&n>1.\\\end{cases}}$

که در آن $+$ نشان‌دهندۀ الحاق دو رشته است. دنبالۀ رشته‌های فیبوناچی چنین آغاز می‌شود:

b, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab, … (دنباله A106750 در OEIS)

طول هر رشتۀ فیبوناچی یک عدد فیبوناچی است، و به همین ترتیب برای هر عدد فیبوناچی یک رشتۀ متناظر فیبوناچی وجود دارد.

رشته‌های فیبوناچی به‌عنوان ورودی‌های بدترین حالت در برخی الگوریتم‌های رایانه‌ای پدیدار می‌شوند.

اگر «a» و «b» نشان‌دهندۀ دو مادۀ متفاوت یا دو طول پیوند اتمی گوناگون باشند، ساختار متناظر با یک رشتۀ فیبوناچی یک شبه‌بلور فیبوناچی خواهد بود؛ یعنی ساختاری غیردوره‌ای از یک شبه‌بلور با ویژگی‌های طیفی نامعمول.

دنباله‌های پیچشی فیبوناچی

یک دنبالۀ پیچشی فیبوناچی با اعمال یک یا چندبارۀ عملگر پیچش بر دنبالۀ فیبوناچی به‌دست می‌آید. به‌طور مشخص، تعریف می‌شود:

$F_{n}^{(0)}=F_{n}$

و

$F_{n}^{(k)}=\sum _{i=0}^{n}F_{i}F_{n-i}^{(k-1)}$

چند دنبالۀ نخست عبارتند از:

$k=1$: 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71, … (دنباله A001629 در OEIS).

$k=2$: 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111, … (دنباله A001628 در OEIS).

$k=3$: 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105, … (دنباله A001872 در OEIS).

این دنباله‌ها را می‌توان با استفاده از رابطۀ بازگشتی زیر محاسبه کرد:

$F_{n+1}^{(k)}=F_{n}^{(k)}+F_{n-1}^{(k)}+F_{n}^{(k-1)}$

تابع مولد $k$امین پیچش عبارت است از:

$s^{(k)}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}^{(k)}x^{n}=\left({\frac {x}{1-x-x^{2}}}\right)^{k}$.

این دنباله‌ها از طریق رابطۀ زیر با دنبالۀ چندجمله‌ای‌های فیبوناچی پیوند دارند:

$F_{n}^{(k)}=k!F_{n}^{(k)}(1)$

که در آن $F_{n}^{(k)}(x)$ همان $k$امین مشتق از $F_{n}(x)$ است. به بیانی دیگر، $F_{n}^{(k)}$ ضریب جملۀ $(x-1)^{k}$ در بسط $F^{(k)}(x)$ بر پایۀ توان‌های $(x-1)$ است.

نخستین پیچش، یعنی $F_{n}^{(1)}$، را می‌توان برحسب اعداد فیبوناچی و لوکاس به‌صورت زیر نوشت:

$F_{n}^{(1)}={\frac {nL_{n}-F_{n}}{5}}$

و از رابطۀ بازگشتی زیر پیروی می‌کند:

$F_{n+1}^{(1)}=2F_{n}^{(1)}+F_{n-1}^{(1)}-2F_{n-2}^{(1)}-F_{n-3}^{(1)}$.

عبارت‌های مشابهی را می‌توان برای $k>1$ یافت که با افزایش $k$ پیچیده‌تر می‌شوند. اعداد $F_{n}^{(1)}$ برابر با مجموع سطرهای مثلث هوسویا هستند.

همانند اعداد فیبوناچی، چندین تعبیر ترکیبیاتی برای این دنباله‌ها وجود دارد؛ برای نمونه $F_{n}^{(1)}$ نشان‌دهندۀ شمار روش‌هایی است که می‌توان $n-2$ را به‌صورت مجموع مرتبی تنها از اعداد ۰، ۱ و ۲ نوشت به‌گونه‌ای که ۰ دقیقاً یک بار به‌کار رود. به‌ویژه $F_{4}^{(1)}=5$ است و عدد ۲ را می‌توان به‌صورت‌های ۰ + ۱ + ۱، ۰ + ۲، ۱ + ۰ + ۱، ۱ + ۱ + ۰ و ۲ + ۰ نوشت.

دیگر تعمیم‌ها

چندجمله‌ای‌های فیبوناچی تعمیم دیگری از اعداد فیبوناچی هستند.

دنباله پادووان با رابطۀ بازگشتی $P(n)=P(n-2)+P(n-3)$ تولید می‌شود.

دنبالۀ گاوهای نارایانا با رابطۀ بازگشتی $N(n)=N(n-1)+N(n-3)$ ساخته می‌شود.

یک دنبالۀ تصادفی فیبوناچی را می‌توان با پرتاب سکه برای هر جایگاه $n$ از دنباله تعریف کرد، به‌گونه‌ای که در صورت آمدن شیر $F(n)=F(n-1)+F(n-2)$ و در صورت آمدن خط $F(n)=F(n-1)-F(n-2)$ در نظر گرفته شود. پژوهش‌های فورستنبرگ و کستن تضمین می‌کند که این دنباله تقریباً به‌طور حتم با نرخی ثابت رشد نمایی دارد؛ این ثابت مستقل از پرتاب‌های سکه است و در سال ۱۹۹۹ توسط دیواکار ویسوانات محاسبه شد و امروزه با نام ثابت ویسوانات شناخته می‌شود.

یک «رپ‌فیگیت» یا عدد کیث، عدد صحیحی است که اگر ارقام آن آغازگر دنباله‌ای از نوع فیبوناچی با همان تعداد رقم باشند، در نهایت خود آن عدد در دنباله پدیدار می‌شود. یک نمونه عدد ۴۷ است، زیرا دنبالۀ فیبوناچی با شروع از ۴ و ۷ یعنی (۴، ۷، ۱۱، ۱۸، ۲۹، ۴۷) به عدد ۴۷ می‌رسد. رپ‌فیگیت در صورت ۳ رقمی بودن می‌تواند دنبالۀ تریبوناچی باشد و در صورت ۴ رقمی بودن دنبالۀ تتراناچی، و به همین ترتیب. نخستین اعداد کیث عبارتند از:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, … (دنباله A007629 در OEIS)

از آنجا که مجموعۀ دنباله‌هایی که در رابطۀ $S(n)=S(n-1)+S(n-2)$ صدق می‌کنند تحت عمل جمع مؤلفه‌ای و ضرب مؤلفه‌ای در عدد ثابت بسته است، می‌توان آن را یک فضای برداری دانست. هر یک از این دنباله‌ها با انتخاب دو عنصر به‌طور یکتا مشخص می‌شوند، بنابراین فضای برداری حاصل دوبعدی است. اگر چنین دنباله‌ای را به‌صورت نمادین $(S(0),S(1))$ بنویسیم، دنبالۀ فیبوناچی $F(n)=(0,1)$ و دنبالۀ تغییرمکان‌یافتۀ فیبوناچی $F(n-1)=(1,0)$ یک پایۀ استاندارد برای این فضا تشکیل می‌دهند که به اتحاد زیر می‌انجامد:

$S(n)=S(0)F(n-1)+S(1)F(n)$

برای تمام این دنباله‌های S. برای نمونه، اگر S دنبالۀ لوکاس ۲، ۱، ۳، ۴، ۷، ۱۱، ... باشد، خواهیم داشت:

$L(n)=2F(n-1)+F(n)$.

دنباله فیبوناچی k-تعمیم‌یافته

به ازای یک عدد صحیح $k\geq 2$، دنبالۀ فیبوناچی k-تعمیم‌یافته $\{F_{n}^{(k)}\}_{n\in \mathbb {Z} }$ با رابطۀ بازگشتی زیر تعریف می‌شود:

${\begin{aligned}F_{n}^{(k)}=F_{n-1}^{(k)}+F_{n-2}^{(k)}+\cdots +F_{n-k}^{(k)},\quad {\text{به ازای هر}}\ n\geq 2,\end{aligned}}$

با مقادیر آغازین $F_{2-k}^{(k)}=\cdots =F_{-1}^{(k)}=F_{0}^{(k)}=0$ و $F_{1}^{(k)}=1$.

دنباله	N	دنباله در OEIS
دنباله فیبوناچی	6	A000045
دنباله پل	12	A000129
دنباله یاکوبستال	18	A001045
دنباله گاوهای نارایانا	10	A000930
دنباله پادووان	15	A000931
دنباله پل از مرتبه سوم	20	A008998
دنباله تریبوناچی	30	A000073
دنباله تتراناچی	210	A000288

دنباله نیمه‌فیبوناچی

دنبالۀ نیمه‌فیبوناچی (دنباله A030067 در OEIS) برای جملات با اندیس فرد با همان رابطۀ بازگشتی $a(2n+1)=a(2n)+a(2n-1)$ و $a(1)=1$، اما برای اندیس‌های زوج به‌صورت $a(2n)=a(n)$ به ازای $n\geq 1$ تعریف می‌شود. از این رو زیردنبالۀ فرد آن A030068 به‌صورت $s(n)=a(2n-1)$ در رابطۀ $s(n+1)=s(n)+a(n)$ صدق کرده و اکیداً صعودی است. این روند مجموعه‌ای از اعداد نیمه‌فیبوناچی را به‌دست می‌دهد:

1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 16, 17, 23, 26, 35, 37, 48, 53, 69, 70, 87, 93, 116, 119, 145, 154, ... (دنباله A030068 در OEIS)

که به‌صورت $s(n)=a(2^{k}(2n-1)),k=0,1,\ldots$ ظاهر می‌شوند.

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Generalizations of Fibonacci numbers». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۸ اوت ۲۰۲۶.