لیبر آباکی

لیبر آباکی (Liber Abbaci (در لاتین به معنای «کتاب حساب») اثری به زبان لاتین دربارۀ حساب است که در سال ۱۲۰۲ میلادی توسط لئوناردو پیزایی، که پس از مرگش با نام فیبوناچی شناخته شد، نگاشته شد. شهرت عمدۀ این کتاب به‌دلیل معرفی سامانۀ عددنویسی هندی و نمادهایی که در فارسی و عربی عددنویسی هندی نامیده می‌شوند اما در غرب مشهور به عددنویسی عربی شده‌اند، است.

زمینه

لیبر آباکی از نخستین کتاب‌های جهان غرب به‌شمار می‌رفت که سامانۀ عددنویسی هندی-عربی را شرح داد و نمادهایی شبیه به «عددنویسی عربی» (درست‌تر: عددنویسی هندی) امروزی را به‌کار برد. این اثر با پرداختن به نیازهای کاربردی بازرگانان و ریاضیدانان، برتری این سامانه و کاربرد این نشانه‌ها را ترویج کرد.^[۱]

گرچه نام کتاب گاهی «کتاب چرتکه» ترجمه شده است، اما (Sigler 2002) یادآور می‌شود که این واژه در عنوان به ابزار محاسبه یعنی چرتکه اشاره ندارد؛ بلکه در آن روزگار واژۀ «abacus» برای هرگونه محاسبه به‌کار می‌رفت؛ همچنین نگارش «abbacus» با دو حرف «b» در ایتالیا همچنان برای اشاره به محاسبه با ارقام هندی‌عربی کاربرد داشته و دارد.^[۲] این کتاب روش‌های انجام محاسبات بدون نیاز به چرتکه را شرح می‌دهد و چنان‌که (Ore 1948) تایید می‌کند، تا سده‌ها پس از انتشار آن، پیروان شیوۀ الگوریسمی (رویکرد محاسبه بر پایۀ لیبر آباکی) با اهل چرتکه (سنّت‌گرایانی که همچنان همراه با ارقام رومی از چرتکه استفاده می‌کردند) در کشمکش بودند. کارل بویر در کتاب «تاریخ ریاضیات» خود تاکید می‌کند که گرچه «لیبر آباکی ذاتاً دربارۀ چرتکه نیست»، با این حال «...رساله‌ای بسیار جامع دربارۀ روش‌ها و مسائل جبری است که کاربرد ارقام هندی‌عربی را به‌شدت تبلیغ می‌کند.»^[۳]

چکیده بخش‌ها

بخش نخست به معرفی سامانۀ عددنویسی هندی‌عربی، مبانی حساب و روش‌های تبدیل میان شیوه‌های مختلف نمایش اعداد می‌پردازد.^[۴] این بخش همچنین دربردارندۀ نخستین شرح شناخته‌شده از آزمون تقسیم برای بررسی مرکب بودن یک عدد و در صورت نیاز تجزیه آن است.^[۵]

بخش دوم نمونه‌هایی از بازرگانی مانند تبدیل پول رایج، یکاهای اندازه‌گیری و محاسبات سود و بهره را ارائه می‌دهد.^[۴]

بخش سوم شماری از مسائل ریاضی را بررسی می‌کند؛ از جمله قضیه باقی‌مانده چینی، اعداد تام، اعداد اول مرسن و همچنین فرمول‌های مربوط به تصاعد حسابی و اعداد هرمی مربعی. مسئلۀ دیگری در این فصل به رشد جمعیت خرگوش‌ها مربوط می‌شود که پاسخ آن به تولید یک دنبالۀ عددی نیاز دارد.^[۴] گرچه پیشینۀ دنبالۀ پدیدآمده به مدت‌ها پیش از لئوناردو بازمی‌گردد،^[۶] اما گنجانده شدن آن در این کتاب سبب شد که امروزه این دنباله را به نام او بخوانند.

بخش چهارم تقریب‌های عددی و هندسی را برای اعداد گنگ نظیر ریشه‌های دوم به‌دست می‌آورد.^[۴]

این کتاب همچنین شامل برهان‌هایی در هندسه اقلیدسی است.^[۴] روش فیبوناچی در حل معادلات جبری، تأثیرپذیری او را از ریاضیدان برجستۀ مصری در اوایل سدۀ دهم میلادی، یعنی ابوکامل، نشان می‌دهد.^[۷]

نمادگذاری فیبوناچی برای کسرها

در لیبر آباکی، شیوۀ نمادگذاری فیبوناچی برای اعداد گویا ساختاری میان کسر مصری (که تا آن زمان رایج بود) و کسر متعارفی امروزی دارد.^[۸] این شیوه در سه زمینه با نمادگذاری مدرن تفاوت دارد:

در نمادگذاری امروزی، کسر معمولاً در سمت راست عدد صحیح نوشته می‌شود، مانند $2\,{\tfrac {1}{3}}$ برای ۷/۳؛ اما فیبوناچی کسر را در سمت چپ می‌نوشت، یعنی ${\tfrac {1}{3}}\,2$ .
فیبوناچی از نمادگذاری «کسر مرکب» بهره می‌برد که در آن دنباله‌ای از صورت‌ها و مخرج‌ها در زیر یک خط کسر پیوسته قرار می‌گرفتند؛ هر کسر برابر با صورت مربوط تقسیم بر حاصل‌ضرب همان مخرج در تمام مخرج‌های سمت راست آن بود؛ یعنی ${\tfrac {b\,\,a}{d\,\,c}}={\tfrac {a}{c}}+{\tfrac {b}{cd}}$ و ${\tfrac {c\,\,b\,\,a}{f\,\,e\,\,d}}={\tfrac {a}{d}}+{\tfrac {b}{de}}+{\tfrac {c}{def}}$ . خواندن این نمادگذاری از راست به چپ انجام می‌شد؛ برای نمونه، ۲۹/۳۰ را می‌شد به‌صورت ${\tfrac {1\,\,2\,\,4}{2\,\,3\,\,5}}$ نوشت که معادل ارزش ${\tfrac {4}{5}}+{\tfrac {2}{3\times 5}}+{\tfrac {1}{2\times 3\times 5}}$ بود. این روش را می‌توان نوعی پایۀ مختلط به‌شمار آورد که برای کار با واحدهای سنتی وزن، اندازه و پول کارایی بالایی داشت. برای نمونه در یکاهای طول، یک پا برابر ۱/۳ یارد و یک اینچ برابر ۱/۱۲ پا است؛ بنابراین اندازۀ ۵ یارد و ۲ پا و $7{\tfrac {3}{4}}$ اینچ را می‌شد به‌صورت کسر مرکب ${\tfrac {3\ \,7\,\,2}{4\,\,12\,\,3}}\,5$ یارد نشان داد. با این حال، در نمادگذاری‌های سنتی گرچه مبنا بر پایه‌های مختلف بود اما مخرج‌ها به‌روشنی نوشته نمی‌شدند؛ مخرج‌های آشکار در شیوۀ فیبوناچی این امکان را به او می‌داد تا در هر مسئله پایه‌های گوناگونی را به‌کار ببرد. سیگلر همچنین به نمونه‌ای اشاره می‌کند که در آن فیبوناچی کسرهای مرکبی را با مخرج‌های همگی ۱۰ می‌آورد که پیش‌درآمدی بر نمایش ده‌دهی امروزی برای کسرها است.^[۹]
فیبوناچی گاهی چند کسر را کنار یکدیگر می‌نوشت که نشان‌دهندۀ حاصل‌جمع آن‌ها بود؛ برای نمونه، از آنجا که ۱/۳ + ۱/۴ = ۷/۱۲ است، نگارشی مانند ${\tfrac {1}{4}}\,{\tfrac {1}{3}}\,2$ عددی را نشان می‌داد که امروزه به‌صورت عدد مخلوط $2\,{\tfrac {7}{12}}$ یا کسر ناسره ${\tfrac {31}{12}}$ نوشته می‌شود. این حالت با وجود گسستگی در خط کسر، از کسرهای مرکب بازشناخته می‌شد. چنانچه تمام صورت‌ها در این قالب برابر ۱ و تمام مخرج‌ها متفاوت می‌بودند، خروجی همان نمایش کسر مصری عدد می‌شد. این شیوه گاه با کسرهای مرکب نیز درمی‌آمیخت و قرار گرفتن دو کسر مرکب در کنار هم، نشان‌دهندۀ مجموع آن‌ها بود.

پیچیدگی و انعطاف این نمادگذاری اجازۀ نوشتن اعداد به شکل‌های گوناگون را فراهم می‌کرد و فیبوناچی روش‌های متعددی را برای تبدیل میان شیوه‌ها شرح داد. به‌ویژه در فصل ۷ از بخش دوم، فهرستی از روش‌های تبدیل کسر ناسره به کسر مصری آمده است که الگوریتم حریصانه برای کسرهای مصری (بسط فیبوناچی-سیلوستر) را در بر دارد.

شیوه هندیان

فیبوناچی در لیبر آباکی در معرفی روش موسوم به Modus Indorum (شیوۀ هندیان) که امروزه با عنوان سامانۀ عددنویسی هندی-عربی یا نمادگذاری موضعی بر پایۀ ۱۰ شناخته می‌شود، چنین نوشته است:

از آنجا که پدرم کارگزار دیوانی دور از وطن در گمرک‌خانۀ بجایه بود که برای بازرگانان پیزایی برپا شده بود، در دوران جوانی مرا به‌سوی خود فراخواند تا آینده‌ای سودمند و آسوده برایم رقم زند؛ او خواست تا چندی در آنجا به آموختن دانش ریاضیات بپردازم. در آن مکان، با آموزش شگفت‌انگیز ارقام نه‌گانۀ هندی آشنا شدم و این هنر چنان مرا شیفتۀ خود کرد که بر هر چیز دیگر ترجیحش دادم؛ سپس روش‌های گوناگون آن را از دانایان این فن در مصر، سوریه، یونان، سیسیل و پرووانس فراگرفتم و پس از آن به سفرهای بازرگانی فراوانی رفتم تا بر آموخته‌هایم بیفزایم و از مباحثات دانشمندان بهره گیرم. اما در ارزیابی نهایی، تمام این روش‌ها اعم از حساب الگوریسمی و حتی کمان‌های فیثاغورسی در سنجش با شیوۀ هندی کاستی داشتند. از این رو، با روی آوردن کامل به شیوۀ هندی و تعمق در آن، و با افزودن یافته‌های خویش و نکاتی برگرفته از ریزه‌کاری‌های هندسۀ اقلیدسی، مجموع ادراکاتم را در این کتاب در پانزده باب گرد آوردم و برای تقریباً هر آنچه نگاشتم دلیلی استوار اقامه کردم تا مشتاقان این دانش، و بیش از همه مردمان ایتالیا که تاکنون از کمترین پایه‌های آن بی‌بهره بودند، از کمال این روش بهره‌مند شوند. اگر احیاناً نکته‌ای را کمتر یا بیشتر از حد لازم آورده باشم، پوزش می‌طلبم، چرا که هیچ‌کس بی‌خطا و در همه کار بی‌عیب نیست.^[۱۰]

ارقام نه‌گانۀ هندی عبارتند از:
۹ ۸ ۷ ۶ ۵ ۴ ۳ ۲ ۱
با این نه نشان و نماد ۰ که عرب‌ها آن را صفر می‌نامند، نگارش هر عددی شدنی است...^[۱۱]

به بیانی دیگر، او کاربرد ارقام ۰ تا ۹ و سامانۀ ارزش مکانی را ترویج کرد. تا پیش از آن، در اروپا از ارقام رومی بهره برده می‌شد که پیشبرد محاسبات نوین را بسیار دشوار می‌ساخت؛ بنابراین کتاب نقشی کلیدی در گسترش ارقام ده‌دهی ایفا کرد. با این همه، به تعبیر اور، رواج سامانۀ هندی‌عربی روندی بسیار زمان‌بر بود و فراگیری همگانی آن قرن‌ها طول کشید، به‌طوری که پیش از نیمۀ دوم سدۀ شانزدهم میلادی تکمیل نشد و تنها در سدۀ ۱۵۰۰ میلادی با پیدایش صنعت چاپ شتاب چشمگیری گرفت.^[۱۲]

تاریخچه متنی

پیشینیان

فیبوناچی به‌شدت تحت تأثیر دانشمندان مسلمان سده‌های نهم و دهم میلادی قرار داشت.^[۱۳]

به گزارش راشد... در بررسی مجموعه‌ای متشکل از حدود ۹۰ مسئلۀ جبری در لیبر آباکی، مشخص شد که ۲۲ مسئله مستقیماً از کتاب جبر خوارزمی (الجبر والمقابله، نگاشته‌شده در حدود ۸۳۰ میلادی) و ۵۳ مسئله از کتاب جبر ابوکامل (یا کتاب در جبر و مقابله، نگاشته‌شده در حدود ۹۱۲ میلادی) وام گرفته شده‌اند. این مسائل با موضوعاتی یکسان و گاه تنها با اندکی تغییر در ضرایب عددی در کتاب آمده‌اند.
— تی. سی. اسکات و پی. مارکتوس، دربارۀ خاستگاه دنبالۀ فیبوناچی، ۲.۲.۱. مسائل تاریخی

نشر

نخستین دست‌نویس این اثر در سال ۱۲۰۲ میلادی پدید آمد، هرچند نسخه‌ای از آن ویرایش در دست نیست. نسخۀ بازنگری‌شده‌ای از لیبر آباکی که به مایکل اسکات تقدیم شده بود، در سال ۱۲۲۸ میلادی تدوین یافت.^[۴]^[۱۳] دست‌کم نوزده نسخۀ خطی شامل بخش‌هایی از این متن بر جای مانده است^[۱۴] که از این میان، سه نسخۀ کامل به سده‌های سیزدهم و چهاردهم میلادی تعلق دارند.^[۱۵] همچنین نه نسخۀ ناقص دیگر مربوط به بازۀ سده‌های سیزدهم تا پانزدهم میلادی شناسایی شده‌اند و احتمال می‌رود نسخه‌های دیگری نیز تاکنون ناشناخته باقی مانده باشند.^[۱۴]^[۱۵]

تا پیش از نسخۀ تصحیح‌شدۀ بنکومپانی در سال ۱۸۵۷ میلادی، هیچ نگارش چاپی از لیبر آباکی وجود نداشت. نخستین ترجمۀ کامل این کتاب به زبان انگلیسی را نیز سیگلر در سال ۲۰۰۲ میلادی به چاپ رساند.^[۱۴]

جستارهای وابسته

کتاب مجذورات

منابع

↑ Devlin, Keith (2012), The Man of Numbers: Fibonacci's Arithmetic Revolution, Walker Books, ISBN 978-0802779083
↑ Sigler, L. E. (trans.) (2002), Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer-Verlag, p. 4, ISBN 0-387-95419-8
↑ Boyer, Carl (1968), A History of Mathematics, New York, London, Sydney: John Wiley & Sons, p. 280
1 2 3 4 5 6 Sigler 2002.
↑ Mollin, Richard A. (2002), "A brief history of factoring and primality testing B. C. (before computers)", Mathematics Magazine, 75 (1): 18–29, doi:10.2307/3219180, JSTOR 3219180, MR 2107288; see also Sigler 2002‌ pp. 65–66
↑ Singh, Parmanand (1985), "The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India", Historia Mathematica, 12 (3): 229–244, doi:10.1016/0315-0860(85)90021-7
↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Kamil Shuja ibn Aslam", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
↑ Moyon, Marc; Spiesser, Maryvonne (3 June 2015), "L'arithmétique des fractions dans l'œuvre de Fibonacci: fondements & usages", Archive for History of Exact Sciences, 69 (4): 391–427, doi:10.1007/s00407-015-0155-y
↑ Sigler 2002, p. 7.
↑ Devlin, Keith (2019), Finding Fibonacci: The Quest to Rediscover the Forgotten Mathematical Genius Who Changed the World, Princeton, N.J.: Princeton University Press, pp. 92–93 (quoted on), ISBN 9780691192307, OCLC 975288613, retrieved 10 July 2024
↑ Sigler 2002‌ p. 17 ; for another translation see Grimm, R. E. (1973), "The Autobiography of Leonardo Pisano" (PDF), The Fibonacci Quarterly, 11 (1): 99–104, doi:10.1080/00150517.1973.12430873
↑ Ore, Øystein (1948), Number Theory and Its History, McGraw Hill. Dover version also available, 1988, شابک ‎۹۷۸−۰−۴۸۶−۶۵۶۲۰−۵
1 2 Scott, T. C.; Marketos, P., "Michael Scot", in O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (eds.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews; see also Scott, T. C.; Marketos, P. (March 2014), On the Origin of the Fibonacci Sequence (PDF), بایگانی تاریخچه ریاضیات مک‌تیوتر, University of St Andrews
1 2 3 Germano, Giuseppe (2013), "New editorial perspectives on Fibonacci's Liber Abaci", Reti Medievali Rivista, 14 (2): 157–173, doi:10.6092/1593-2214/400
1 2 "Fibonacci, Leonardo, or Leonardo of Pisa", Dictionary of Scientific Biography (PDF), Charles Scribner's Sons, 2008 – via بایگانی تاریخچه ریاضیات مک‌تیوتر
Beebe, Nelson (13 December 2009), Fibonacci's Liber Abaci (Book of Calculation), دانشگاه یوتا, retrieved 2018-11-27

خطای یادکرد: برچسپ <ref> که با نام «beebe» درون <references> تعریف شده، در متن قبل از آن استفاده نشده است.

پیوند به بیرون

Pisano, Leonardo (1202), Incipit liber Abbaci compositus to Lionardo filio Bonaccii Pisano in year Mccij [Manuscript], Museo Galileo.

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Liber Abaci». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۸ اوت ۲۰۲۶.

[devlin-mon-1] Devlin, Keith (2012), The Man of Numbers: Fibonacci's Arithmetic Revolution, Walker Books, ISBN 978-0802779083

[sigler-2] Sigler, L. E. (trans.) (2002), Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer-Verlag, p. 4, ISBN 0-387-95419-8

[boyer-3] Boyer, Carl (1968), A History of Mathematics, New York, London, Sydney: John Wiley & Sons, p. 280

[FOOTNOTESigler2002-4] 1 2 3 4 5 6 Sigler 2002.

[mollin-5] Mollin, Richard A. (2002), "A brief history of factoring and primality testing B. C. (before computers)", Mathematics Magazine, 75 (1): 18–29, doi:10.2307/3219180, JSTOR 3219180, MR 2107288; see also Sigler 2002‌ pp. 65–66

[singh-6] Singh, Parmanand (1985), "The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India", Historia Mathematica, 12 (3): 229–244, doi:10.1016/0315-0860(85)90021-7

[ibn-aslam-7] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Kamil Shuja ibn Aslam", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews

[moyon-spiesser-8] Moyon, Marc; Spiesser, Maryvonne (3 June 2015), "L'arithmétique des fractions dans l'œuvre de Fibonacci: fondements & usages", Archive for History of Exact Sciences, 69 (4): 391–427, doi:10.1007/s00407-015-0155-y

[FOOTNOTESigler20027-9] Sigler 2002, p. 7.

[devlin-ff-10] Devlin, Keith (2019), Finding Fibonacci: The Quest to Rediscover the Forgotten Mathematical Genius Who Changed the World, Princeton, N.J.: Princeton University Press, pp. 92–93 (quoted on), ISBN 9780691192307, OCLC 975288613, retrieved 10 July 2024

[9-figures-11] Sigler 2002‌ p. 17 ; for another translation see Grimm, R. E. (1973), "The Autobiography of Leonardo Pisano" (PDF), The Fibonacci Quarterly, 11 (1): 99–104, doi:10.1080/00150517.1973.12430873

[ore-12] Ore, Øystein (1948), Number Theory and Its History, McGraw Hill. Dover version also available, 1988, شابک ‎۹۷۸−۰−۴۸۶−۶۵۶۲۰−۵

[scot-13] 1 2 Scott, T. C.; Marketos, P., "Michael Scot", in O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (eds.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews; see also Scott, T. C.; Marketos, P. (March 2014), On the Origin of the Fibonacci Sequence (PDF), بایگانی تاریخچه ریاضیات مک‌تیوتر, University of St Andrews

[germano-14] 1 2 3 Germano, Giuseppe (2013), "New editorial perspectives on Fibonacci's Liber Abaci", Reti Medievali Rivista, 14 (2): 157–173, doi:10.6092/1593-2214/400

[cdsb-15] 1 2 "Fibonacci, Leonardo, or Leonardo of Pisa", Dictionary of Scientific Biography (PDF), Charles Scribner's Sons, 2008 – via بایگانی تاریخچه ریاضیات مک‌تیوتر

[beebe-16] Beebe, Nelson (13 December 2009), Fibonacci's Liber Abaci (Book of Calculation), دانشگاه یوتا, retrieved 2018-11-27

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]

[۵]

[۶]

[۷]

[۸]

[۹]

[۱۰]

[۱۱]

[۱۲]

[۱۳]

[۱۴]

[۱۵]

لئوناردو فیبوناچی
کتاب‌ها	لیبر آباکی (۱۲۰۲) کتاب مجذورات (۱۲۲۵)
نظریه‌ها	دنباله فیبوناچی الگوریتم حریصانه برای کسرهای مصری
ریاضی‌دانان مرتبط	پینگالا ویراهانکا گوپالا هماچاندرا نارایانا پاندیتا
جستارهای وابسته	اعداد فیبوناچی در فرهنگ عامه چیزهای نام‌گذاری‌شده به نام فیبوناچی تعمیم‌های اعداد فیبوناچی انجمن فیبوناچی فصل‌نامه فیبوناچی