پینگالا

پینگالا
زادهٔحدود سدهٔ سوم یا دوم پیش از میلاد[۱]
شناخته‌شده
برای		ماترامِرو، سامانه دودویی، مثلث خیام-پاسکال
پیشینه علمی
شاخه(ها)وزن شعر سانسکریت، ریاضیات در هند، دستور زبان سانسکریت

پینگالا انگلیسی: Pingala (سانسکریت: पिङ्गल؛ تلفظ سانسکریت آن به «پینگله» نزدیک‌تر است)[۲] دانشمند، شاعر، دستورشناس، وزن‌شناس و ریاضی‌دان هند باستان بود که احتمالاً در حدود سدهٔ سوم یا دوم پیش از میلاد، در دورهٔ امپراتوری مائوریا یا اندکی پس از آن، می‌زیست.[۱][۳]

مهم‌ترین اثر منسوب به او، چَندَس‌شاستره (سانسکریت: छन्दःशास्त्र؛ به‌معنای «رسالهٔ وزن‌شناسی») است که با عنوان سوتره‌های پینگالا (سانسکریت: पिङ्गलसूत्राः) نیز شناخته می‌شود. این اثر از متون بنیادی «چَندَس»، یعنی دانش وزن و وزن‌شناسی شعر سانسکریت، است. چَندَس یکی از شش ودانگا، یا دانش‌های کمکیِ سنت ودایی، به‌شمار می‌رود.[۴][۵]

چَندَس‌شاستره از هشت فصل تشکیل شده و به شیوهٔ فشردهٔ متون متأخر سوترا نوشته شده است؛ ازاین‌رو برای فهم کامل آن معمولاً به شرح‌ها و تفسیرهای بعدی نیاز است. این اثر را به واپسین سده‌های پیش از میلاد نسبت داده‌اند.[۶][۷] هَلایوده در سدهٔ دهم میلادی شرحی با عنوان مِرتَسَنجیوَنی بر آن نوشت.

در برخی سنت‌های هندی، پینگالا برادر کوچک‌تر پانینی، دستورشناس نامدار سانسکریت و مؤلف اثری بنیادی در دستور زبان سانسکریت، معرفی شده است.[۸] سنت‌های دیگری او را با پتنجلی، دانشور سدهٔ دوم پیش از میلاد و مؤلف مهابهاشیه، یکی دانسته‌اند؛ با این حال این همانندسازی‌ها بخشی از سنت‌های تاریخی هند هستند و هویت دقیق پینگالا و تاریخ زندگی او با قطعیت معلوم نیست.

ترکیبیات

چَندَس‌شاستره روشی بازگشتی برای فهرست‌کردن منظم وزن‌های شعری ارائه می‌کند. این روش همهٔ ترکیب‌های ممکن از هجاهای «سبک» یا لَگهو و «سنگین» یا گورو را در وزنی دارای هجا تولید می‌کند. از آنجا که هر جایگاه تنها دو حالت دارد، ساختار حاصل را می‌توان از دید ریاضی هم‌ارز فهرست‌کردن دنبالهٔ دودویی دانست.[۹][۱۰][۱۱]

پینگالا این محاسبات وزنی را در قالب شش رویهٔ الگوریتمی که «پراتیایا» خوانده می‌شدند سامان داد:

  • پراستاره (گسترانش): روشی منظم و بازگشتی برای تولید همهٔ ترکیب‌های ممکن هجاهای لَگهو (سبک یا کوتاه) و گورو (سنگین یا بلند) در وزنی دارای هجا. اگر دو نوع هجا با دو نماد دودویی نمایش داده شوند، این روش تمام دنبالهٔ ممکن را تولید می‌کند.
  • نَشته (بازیابی): الگوریتمی برای یافتن رشتهٔ دقیق هجاها از روی شماره یا رتبهٔ یک وزن.
  • اودیشته (نمایه‌یابی): الگوریتم وارون نَشته که شماره یا رتبهٔ یک رشتهٔ مشخص از هجاها را تعیین می‌کند.
  • لَگهوکریا / گوروکریا (تعیین وزن): محاسبهٔ شمار وزن‌هایی که تعداد معینی هجای سبک یا سنگین دارند؛ این محاسبات به ضرایب دوجمله‌ای می‌انجامند.
  • سَنکهیا (شمارش کل): محاسبهٔ شمار کل آرایش‌های ممکن، یعنی ، برای وزنی دارای هجا.
  • ماترامِرو / مِروپراستاره (آرایش هرمی): آرایه‌ای مثلثی از ضرایب ترکیبیاتی که از نظر ساختار همان آرایه‌ای است که بعدها در اروپا به نام مثلث خیام-پاسکال شناخته شد؛ محاسبات مربوط به وزن‌های ماترایی نیز به دنباله‌هایی منتهی شد که بعدها با دنباله فیبوناچی مرتبط دانسته شدند.[۱۲]
ترکیب‌های وزنی حاصل از روش «پراستاره» برای طول [۹]
طول وزن ( هجا) شمار کل وزن‌ها () ترتیب ترکیب‌ها در «پراستاره»
۱ ۲ G L
۲ ۴ GG LG GL LL
۳ ۸ GGG LGG GLG LLG GGL LGL GLL LLL

در این جدول، G نمایندهٔ هجای سنگین یا گورو و L نمایندهٔ هجای سبک یا لَگهو است.

نمایش دودویی و صفر

به پینگالا یکی از نخستین کاربردهای صریح شناخته‌شدهٔ صفر در متون ریاضی هند نسبت داده شده است. او واژهٔ سانسکریت «شونیه»، به‌معنای «تهی»، را به‌عنوان نشانگری در محاسبات خود به کار برد.[۱۳]

نمایش دودویی در روش پینگالا از نظر ترتیب ارزش‌های مکانی با شیوهٔ رایج امروزی تفاوت دارد: ارزش‌ها در آن از چپ به راست افزایش می‌یابند، در حالی که در نمایش دودویی امروزی معمولاً جهت افزایش ارزش مکانی برعکس است.[۱۴] برای نمونه، رشتهٔ چهار هجای کوتاه که می‌توان آن را به صورت 0000 نمایش داد، نخستین الگو و متناظر با مقدار یک است. مقدار عددی هر الگو با افزودن یک به مجموع ارزش‌های مکانی آن محاسبه می‌شود.[۱۵]

دنباله‌های ماترایی

قواعد ترکیبیاتی وزن‌های شعری که پینگالا بر پایهٔ واحدهای زمانی موسوم به «ماترا» تدوین کرد، زمینهٔ ریاضیِ دنباله‌ای را فراهم کرد که بعدها در غرب با نام دنباله فیبوناچی شناخته شد. این دنباله در آثار ریاضی‌دانان هندی بعدی، از جمله ویراهانکا در حدود سده‌های ششم تا هشتم میلادی و هماچاندرا در سدهٔ دوازدهم، به صورت صریح‌تر صورت‌بندی شد؛ یعنی چندین سده پیش از نوشته‌های فیبوناچی.[۱۶][۱۷][۱۸]

نسخه‌های چاپی

  • آلبرشت وبر، مطالعات هندی، جلد ۸، لایپزیگ، ۱۸۶۳.
  • جاناکینات کابْیاتیرته و برادران، سوترهٔ چَندَس پینگالا، کلکته، ۱۹۳۱.[۱۹]
  • انتشارات نیرنای‌ساگار، چَند شاستره، بمبئی، ۱۹۳۸.[۲۰]

جستارهای وابسته

منابع

  1. 1 2 Plofker, Kim (2009). Mathematics in India. Princeton University Press. pp. 55–56. ISBN 978-0-691-12067-6.
  2. ↑ Singh, Parmanand (1985). "The So-called Fibonacci Numbers in Ancient and Medieval India" (PDF). هیستوریا ماتماتیکا. 12 (3). آکادمیک پرس: 232. doi:10.1016/0315-0860(85)90021-7. Archived from the original (PDF) on 2019-07-24. Retrieved 2018-11-29.
  3. ↑ "Pingala – Timeline of Mathematics". Mathigon (in English). Retrieved 2021-08-21.
  4. ↑ Vaman Shivaram Apte (1970). Sanskrit Prosody and Important Literary and Geographical Names in the Ancient History of India. Motilal Banarsidass. pp. 648–649. ISBN 978-81-208-0045-8.
  5. ↑ Mylius, Klaus (1983). Geschichte der altindischen Literatur. Wiesbaden: Harrassowitz Verlag. p. 68. ISBN 978-3-447-02324-5.
  6. ↑ R. Hall, Mathematics of Poetry, تاریخ تقریبی ۲۰۰ پیش از میلاد را ذکر می‌کند.
  7. ↑ کلاوس میلیوس (۱۹۸۳، ص. ۶۸) چَندَس‌شاستره را در مجموعهٔ ودانگاها اثری «بسیار متأخر» می‌داند.
  8. ↑ Matilal, Bimal Krishna (1990). The Word and the World: India's Contribution to the Study of Language. Oxford University Press. pp. 12–15. ISBN 978-0-19-562515-8.
  9. 1 2 Shah, Jayant (2008). "A History of Piṅgala's Combinatorics" (PDF). Northeastern University, Boston. Archived from the original (PDF) on 2016-07-06.
  10. ↑ van Nooten, B. (1993). "Binary Numbers in Indian Antiquity". Journal of Indian Philosophy. 21 (1): 31–50. doi:10.1007/BF01092744.
  11. ↑ Hall, Rachel Wells (February 2008). "Math for Poets and Drummers". Math Horizons. 15 (3). گروه تیلور و فرانسیس: 10–12. doi:10.1080/10724117.2008.11974752. JSTOR 25678735. S2CID 3637061. Retrieved 27 May 2022.
  12. ↑ Singh, Parmanand (1985). "The So-called Fibonacci Numbers in Ancient and Medieval India". Historia Mathematica. 12 (3): 229–244. doi:10.1016/0315-0860(85)90021-7.
  13. ↑ (Plofker 2009), pp. 54–56: "In the Chandah-sutra of Pingala, dating perhaps the third or second century BC, [...] Pingala's use of a zero symbol [śūnya] as a marker seems to be the first known explicit reference to zero. ... In the Chandah-sutra of Pingala, dating perhaps the third or second century BC, there are five questions concerning the possible meters for any value "n". [...] The answer is (2)7 = 128, as expected, but instead of seven doublings, the process (explained by the sutra) required only three doublings and two squarings – a handy time saver where "n" is large. Pingala's use of a zero symbol as a marker seems to be the first known explicit reference to zero."
  14. ↑ Stakhov, Alexey; Olsen, Scott Anthony (2009). The mathematics of harmony: from Euclid to contemporary mathematics and computer science. World Scientific. ISBN 978-981-277-582-5.
  15. ↑ B. van Nooten, "Binary Numbers in Indian Antiquity", Journal of Indian Philosophy, Volume 21, 1993, pp. 31–50.
  16. ↑ Susantha Goonatilake (1998). Toward a Global Science. Indiana University Press. p. 126. ISBN 978-0-253-33388-9.
  17. ↑ Singh, Parmanand (1985). "The So-called Fibonacci Numbers in Ancient and Medieval India". Historia Mathematica. 12 (3): 229–244. doi:10.1016/0315-0860(85)90021-7.
  18. ↑ Bag, Amulya Kumar (1966). "Binomial theorem in ancient India". Indian Journal of History of Science. 1 (1): 68–74.
  19. ↑ Chhanda Sutra – Pingala.
  20. ↑ Pingalacharya (1938). Chand Shastra.

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Pingala». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

This page is issued from ویکی‌پدیا. The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.