آزمون‌های همگرایی

در ریاضیات، آزمون‌های همگرایی روش‌هایی برای بررسی همگرایی، همگرایی مشروط، همگرایی مطلق، بازه همگرایی یا واگرایی یک سری نامتناهی $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ هستند.

فهرست آزمون‌ها

حد جمله

اگر حد جملهٔ سری تعریف‌نشده یا غیرصفر باشد، یعنی $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$، آنگاه سری باید واگرا باشد. به این معنا، مجموع‌های جزئی تنها اگر و تنها اگر این حد وجودداشته باشد و برابر با صفر باشد، یک دنباله کوشی هستند. اگر حد جمله برابر با صفر باشد، آزمون نتیجه‌ای در برندارد. این آزمون با نام‌های آزمون جملهٔ nام، آزمون واگرایی یا آزمون واگرایی نیز شناخته می‌شود.

آزمون نسبت

این آزمون با نام معیار دالامبر نیز شناخته می‌شود. دو حد $\ell =\liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ و $L=\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ را در نظر بگیرید. اگر $\ell >1$ باشد، سری واگرا است. اگر $L<1$ باشد، سری به‌طور مطلق همگرا است. اگر $\ell \leq 1\leq L$ باشد، آزمون نتیجه‌ای در برندارد و سری ممکن است به‌طور مطلق همگرا، مشروط همگرا یا واگرا باشد.

آزمون ریشه

این آزمون با نام آزمون ریشهٔ nام یا معیار کوشی نیز شناخته می‌شود. فرض کنید:: $r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},$: که در آن $\limsup$ نشان‌دهندهٔ حد زبرین است (ممکن است $\infty$ باشد؛ اگر حد وجودداشته باشد، همان مقدار است). : اگر r < ۱ باشد، سری به‌طور مطلق همگرا است. اگر r > ۱ باشد، سری واگرا است. اگر r = ۱ باشد، آزمون ریشه نتیجه‌ای در برندارد و سری ممکن است همگرا یا واگرا باشد. آزمون ریشه قوی‌تر از آزمون نسبت است: هرگاه آزمون نسبت همگرایی یا واگرایی یک سری نامتناهی را تعیین کند، آزمون ریشه نیز چنین می‌کند، اما عکس آن صادق نیست.

آزمون انتگرال

سری را می‌توان برای تعیین همگرایی یا واگرایی با یک انتگرال مقایسه کرد. فرض کنید $f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}$ یک تابع غیرمنفی و اکیداً نزولی باشد به‌طوری که $f(n)=a_{n}$. اگر $$\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,$$ آنگاه سری همگرا است. اما اگر انتگرال واگرا باشد، سری نیز واگرا خواهد بود. به عبارت دیگر، سری ${a_{n}}$ اگر و تنها اگر انتگرال همگرا باشد، همگرا است.

آزمون سری p

یک نتیجهٔ پرکاربرد از آزمون انتگرال، آزمون سری p است. فرض کنید $k>0$. در این صورت $\sum _{n=k}^{\infty }{\bigg (}{\frac {1}{n^{p}}}{\bigg )}$ برای $p>1$ همگرا است.

حالت $p=1,k=1$ منجر به سری هارمونیک می‌شود که واگرا است. حالت $p=2,k=1$ همان مسئله بازل است و سری به ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$ همگرا می‌شود. به‌طور کلی، برای $p>1,k=1$، سری برابر با تابع زتای ریمان اعمال‌شده بر $p$ است، یعنی $\zeta (p)$.

آزمون مقایسه مستقیم

اگر سری $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ یک سری مطلقاً همگرا باشد و برای nهای به‌اندازه کافی بزرگ‌داشته باشیم $|a_{n}|\leq |b_{n}|$، آنگاه سری $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ نیز مطلقاً همگرا است.

آزمون مقایسه حدی

اگر $\{a_{n}\},\{b_{n}\}>0$ (یعنی هر عضو از دو دنباله مثبت باشد) و حد $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ وجودداشته باشد، متناهی و غیرصفر باشد، آنگاه هر دو سری همگرا یا هر دو سری واگرا هستند.

آزمون تراکم کوشی

فرض کنید $\left\{a_{n}\right\}$ یک دنباله غیرمنفی و غیرصعودی باشد. در این صورت مجموع $A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ اگر و تنها اگر مجموع $A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}$ همگرا باشد، همگرا است. علاوه بر این، اگر همگرا باشند، رابطهٔ $A\leq A^{*}\leq 2A$ برقرار است.

آزمون آبل

فرض کنید گزاره‌های زیر درست باشند:

1. $\sum a_{n}$ یک سری همگرا باشد،
2. $\left\{b_{n}\right\}$ یک دنباله یکنوا باشد، و
3. $\left\{b_{n}\right\}$ کران‌دار باشد.

آنگاه $\sum a_{n}b_{n}$ نیز همگرا است.

آزمون همگرایی مطلق

هر سری مطلقاً همگرا، همگرا است.

آزمون سری متناوب

فرض کنید گزاره‌های زیر درست باشند:

• $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ یکنوا باشد،
• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$

آنگاه $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$ و $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}$ سری‌های همگرا هستند. این آزمون با نام معیار لایبنیتس نیز شناخته می‌شود.

آزمون دیریکله

اگر $\{a_{n}\}$ یک دنباله از اعداد حقیقی و $\{b_{n}\}$ یک دنباله از اعداد مختلط باشد که در شرایط زیر صدق کنند:: * $a_{n}\geq a_{n+1}$: * $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$: * $\left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M$ برای هر عدد صحیح مثبت N

که در آن M یک ثابت است، آنگاه سری:$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$

همگرا است.

آزمون کوشی

سری $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ همگرا است اگر و تنها اگر برای هر $\varepsilon >0$ یک عدد طبیعی N وجودداشته باشد به‌طوری که:$|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon$

برای تمام n > N و تمام p ≥ ۱ برقرار باشد.

قضیه اشتولتس-چزارو

فرض کنید $(a_{n})_{n\geq 1}$ و $(b_{n})_{n\geq 1}$ دو دنباله از اعداد حقیقی باشند. فرض کنید $(b_{n})_{n\geq 1}$ یک دنباله اکیداً یکنوا و واگرا باشد و حد زیر وجودداشته باشد::$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.\$ آنگاه حد زیر برقرار است::$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\$

آزمون ام وایرشتراس

فرض کنید (f_n) دنباله‌ای از توابع با مقدار حقیقی یا مختلط باشد که روی مجموعهٔ A تعریف شده‌اند، و دنباله‌ای از اعداد غیرمنفی (M_n) وجودداشته باشد که در شرایط زیر صدق کند:

• $|f_{n}(x)|\leq M_{n}$ برای تمام $n\geq 1$ و تمام $x\in A$، و
• $\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$ همگرا باشد.

آنگاه سری:$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ به‌طور مطلق و یکنوا روی A همگرا است.

تعمیم‌های آزمون نسبت

آزمون نسبت ممکن است زمانی که حد نسبت برابر با ۱ باشد، نتیجه‌ای در برنداشته باشد. با این حال، تعمیم‌های آزمون نسبت گاهی اجازه می‌دهند که با این حالت برخورد شود.

آزمون رابه-دوامل

فرض کنید { a_n } دنباله‌ای از اعداد مثبت باشد.

تعریف می‌کنیم::$b_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right).$

اگر:$L=\lim _{n\to \infty }b_{n}$

وجودداشته باشد، سه حالت ممکن است:

• اگر L > ۱ باشد، سری همگرا است (این شامل حالت L = ∞ نیز می‌شود)
• اگر L < ۱ باشد، سری واگرا است
• و اگر L = ۱ باشد، آزمون نتیجه‌ای در برندارد.

یک صورت‌بندی جایگزین از این آزمون به شرح زیر است. فرض کنید { a_n } سری‌ای از اعداد حقیقی باشد. اگر b > ۱ و K (یک عدد طبیعی) وجودداشته باشند به‌طوری که:$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq 1-{\frac {b}{n}}$

برای تمام n > K برقرار باشد، آنگاه سری {a_n} همگرا است.

آزمون برتراند

فرض کنید { a_n } دنباله‌ای از اعداد مثبت باشد.

تعریف می‌کنیم::$b_{n}=\ln n\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right).$

اگر:$L=\lim _{n\to \infty }b_{n}$

وجودداشته باشد، سه حالت ممکن است:

• اگر L > ۱ باشد، سری همگرا است (این شامل حالت L = ∞ نیز می‌شود)
• اگر L < ۱ باشد، سری واگرا است
• و اگر L = ۱ باشد، آزمون نتیجه‌ای در برندارد.

آزمون گاوس

فرض کنید { a_n } دنباله‌ای از اعداد مثبت باشد. اگر ${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\alpha }{n}}+O(1/n^{\beta })$ برای برخی β > ۱ باشد، آنگاه $\sum a_{n}$ برای α > ۱ همگرا و برای α ≤ ۱ واگرا است.

آزمون کومر

فرض کنید { a_n } دنباله‌ای از اعداد مثبت باشد. در این صورت:

$\sum a_{n}$ همگرا است اگر و تنها اگر دنباله‌ای از اعداد مثبت $b_{n}$ و عدد حقیقی c > ۰ وجودداشته باشد به‌طوری که $b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\geq c$.

$\sum a_{n}$ واگرا است اگر و تنها اگر دنباله‌ای از اعداد مثبت $b_{n}$ وجودداشته باشد به‌طوری که $b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\leq 0$

و $\sum 1/b_{n}$ واگرا باشد.

آزمون ابومصطفی

فرض کنید $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ یک سری نامتناهی با جملات حقیقی باشد و $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ هر تابع حقیقی باشد به‌طوری که برای تمام اعداد صحیح مثبت n‌داشته باشیم $f(1/n)=a_{n}$ و مشتق دوم $f''$ در $x=0$ موجود باشد. در این صورت $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ همگرایی مطلق دارد اگر $f(0)=f'(0)=0$ و در غیر این صورت واگرا است.

یادداشت‌ها

• برای برخی از انواع خاص سری‌ها، آزمون‌های همگرایی تخصصی‌تری وجود دارد؛ برای نمونه برای سری فوریه، آزمون دینی وجود دارد.

مثال‌ها

سری زیر را در نظر بگیرید:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}.$

(i)

آزمون انتگرال کوشی (آزمون تراکم کوشی) نشان می‌دهد که (i) همگرایی متناهی دارد اگر

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }$

(ii)

همگرایی متناهی‌داشته باشد. از آنجا که: $\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-\alpha )n}$

(ii) یک سری هندسی با قدر نسبت $2^{(1-\alpha )}$ است. (ii) همگرایی متناهی دارد اگر قدر نسبت آن کمتر از یک باشد (یعنی $\alpha >1$). بنابراین، (i) همگرایی متناهی دارد اگر و تنها اگر $\alpha >1$.

همگرایی حاصل‌ضرب‌ها

در حالی که بیشتر آزمون‌ها به همگرایی سری‌های نامتناهی می‌پردازند، می‌توان از آن‌ها برای نشان دادن همگرایی یا واگرایی حاصل‌ضرب نامتناهی نیز استفاده کرد. این کار با استفاده از قضیه زیر امکان‌پذیر است: فرض کنید $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ دنباله‌ای از اعداد مثبت باشد. در این صورت حاصل‌ضرب نامتناهی $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$ همگرا است اگر و تنها اگر سری $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ همگرا باشد. همچنین به همین ترتیب، اگر $0\leq a_{n}<1$ برقرار باشد، آنگاه $\prod _{n=1}^{\infty }(1-a_{n})$ به یک حد غیرصفر میل می‌کند اگر و تنها اگر سری $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ همگرا باشد.

این موضوع را می‌توان با گرفتن لگاریتم از حاصل‌ضرب و استفاده از آزمون مقایسه حدی اثبات کرد.

جستارهای وابسته

• قاعده هوپیتال
• قاعده انتقال

برای مطالعهٔ بیشتر

• Leithold, Louis (1972). The Calculus, with Analytic Geometry (2nd ed.). New York: Harper & Row. pp. 655–737. ISBN 0-06-043959-9.