آزمون دیریکله

در ریاضیات، آزمون دیریکله روشی برای بررسی همگرایی یک سری است که به‌ویژه برای اثبات همگرایی مشروط بسیار مفید است. این آزمون به نام پدیدآورنده‌اش یوهان پتر گوستاف لوژون دیریکله نام‌گذاری‌شده و پس از مرگ او در سال ۱۸۶۲ در نشریهٔ Journal de Mathématiques Pures et Appliquées منتشر شد.

بیان قضیه

این آزمون بیان می‌کند که اگر $(a_{n})$ یک دنباله یکنوا از اعداد حقیقی باشد که ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ و $(b_{n})$ دنباله‌ای از اعداد حقیقی یا اعداد مختلط با مجموع‌های جزئی کران‌دار باشد، آنگاه سری:$$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$$ همگرا است.

اثبات

فرض کنید ${\textstyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}}$ و ${\textstyle B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}}$.

از جمع‌بندی جزء به جزء، داریم ${\textstyle S_{n}=a_{n}B_{n}+\sum _{k=1}^{n-1}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})}$. از آنجا که قدر مطلق مجموع‌های جزئی $B_{n}$ توسط مقداری مانند M کران‌دار است و $a_{n}\to 0$ هنگامی که $n\to \infty$، اولین جمله به صفر میل می‌کند: $|a_{n}B_{n}|\leq |a_{n}M|\to 0$ هنگامی که $n\to \infty$.

علاوه بر این، برای هر k, $|B_{k}(a_{k}-a_{k+1})|\leq M|a_{k}-a_{k+1}|$.

از آنجا که $(a_{n})$ یکنوا است، یا نزولی است یا صعودی:

اگر $(a_{n})$ نزولی باشد، $$\sum _{k=1}^{n}M|a_{k}-a_{k+1}|=\sum _{k=1}^{n}M(a_{k}-a_{k+1})=M\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1}),$$ که یک سری تلسکوپی است و برابر با $M(a_{1}-a_{n+1})$ می‌باشد و بنابراین هنگامی که $n\to \infty$ به $Ma_{1}$ میل می‌کند. در نتیجه، ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }M|a_{k}-a_{k+1}|}$ همگرا است.

اگر $(a_{n})$ صعودی باشد، $$\sum _{k=1}^{n}M|a_{k}-a_{k+1}|=-\sum _{k=1}^{n}M(a_{k}-a_{k+1})=-M\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1}),$$ که باز هم یک سری تلسکوپی است و برابر با $-M(a_{1}-a_{n+1})$ می‌باشد و بنابراین هنگامی که $n\to \infty$ به $-Ma_{1}$ میل می‌کند. در نتیجه، باز هم ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }M|a_{k}-a_{k+1}|}$ همگرا است. بنابراین، سری ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }B_{k}(a_{k}-a_{k+1})}$ طبق آزمون مقایسه مستقیم با ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }M|a_{k}-a_{k+1}|}$ همگرا است. در نتیجه $S_{n}$ همگرا می‌شود.

کاربردها

یک حالت خاص از آزمون دیریکله، آزمون سری متناوب است که کاربرد بیشتری دارد، برای حالتی که $$b_{n}=(-1)^{n}\Longrightarrow \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq 1.$$

یک نتیجه دیگر این است که $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin n$ همگرا است هرگاه $(a_{n})$ یک دنباله نزولی باشد که به صفر میل می‌کند. برای مشاهده اینکه $\sum _{n=1}^{N}\sin n$ کران‌دار است، می‌توانیم از فرمول مجموع استفاده کنیم $$\sum _{n=1}^{N}\sin n=\sum _{n=1}^{N}{\frac {e^{in}-e^{-in}}{2i}}={\frac {\sum _{n=1}^{N}(e^{i})^{n}-\sum _{n=1}^{N}(e^{-i})^{n}}{2i}}={\frac {\sin 1+\sin N-\sin(N+1)}{2-2\cos 1}}.$$

انتگرال‌های ناسره

بیان مشابهی برای همگرایی انتگرال ناسره با استفاده از انتگرال‌گیری جزء به جزء اثبات می‌شود. اگر انتگرال یک تابع f روی تمام بازه‌ها به‌طور یکنوا کران‌دار باشد، و g یک تابع یکنوای نزولی و غیرمنفی کران‌دار باشد، آنگاه انتگرال fg یک انتگرال ناسره همگرا است.

منابع

• Apostol, Tom M. (1967) [1961]. Calculus. Vol. 1 (2nd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00005-1.
• هاردی، گ.ه.، A Course of Pure Mathematics، ویرایش نهم، انتشارات دانشگاه کمبریج، ۱۹۴۶. (صص ۳۷۹–۳۸۰).
• Rudin, Walter (1976) [1953]. Principles of mathematical analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X. OCLC 1502474.
• Spivak, Michael (2008) [1967]. Calculus (4th ed.). Houston, TX: Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-91-1.
• Voxman, William L. , Advanced Calculus: An Introduction to Modern Analysis, Marcel Dekker, Inc. , New York, 1981. (§8.B.13–15) شابک ‎۰−۸۲۴۷−۶۹۴۹-X.

پیوند به بیرون

• PlanetMath.org

در ریاضی، آزمون‌های همگرایی روش‌هایی برای تعیین همگرایی یا واگرایی یک سری نامتناهی اند.