واژه‌نامه حسابان

بیشتر اصبیشتر اصطلاحات فهرست‌شده در واژه‌نامه‌های ویکی‌پدیا، پیش‌تر در خود ویکی‌پدیا تعریف و توضیح داده شده‌اند. با این حال، واژه‌نامه‌هایی مانند این برای جستجو، مقایسه و مرور تعداد زیادی از اصطلاحات در کنار هم مفید هستند. شما می‌توانید با افزودن اصطلاحات جدید یا نوشتن تعریف برای اصطلاحات موجود، به بهبود این صفحه کمک کنید.

این واژه‌نامه حسابان فهرستی از تعاریف مربوط به حسابان، زیرشاخه‌های آن و زمینه‌های مرتبط است.

A

آزمون آبل

روشی برای آزمون همگرایی یک سری نامتناهی.

همگرایی مطلق

یک سری نامتناهی از اعداد را همگرای مطلق (یا دارای همگرایی مطلق) می‌نامند اگر مجموع قدر مطلق جملات آن متناهی باشد. به‌طور دقیق‌تر، یک سری حقیقی یا مختلط $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ را همگرای مطلق می‌نامند اگر $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=L$ برای یک عدد حقیقی $\textstyle L$ برقرار باشد. به‌طور مشابه، یک انتگرال ناسره از یک تابع، $\textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx$، را همگرای مطلق می‌نامند اگر انتگرالِ قدر مطلقِ انتگرال‌گیر متناهی باشد؛ یعنی اگر $\textstyle \int _{0}^{\infty }\left|f(x)\right|dx=L.$

بیشینه مطلق

بالاترین مقداری که یک تابع به آن می‌رسد.

کمینه مطلق

پایین‌ترین مقداری که یک تابع به آن می‌رسد.

قدر مطلق

قدر مطلق یا مدول |x| یک عدد حقیقی x، مقدار نامنفی x بدون در نظر گرفتن علامت آن است. یعنی |x| = x برای یک x مثبت، |x| = −x برای یک x منفی (که در این حالت −x مثبت است)، و |0| = 0. برای نمونه، قدر مطلق ۳ برابر ۳ است و قدر مطلق ۳- نیز ۳ است. قدر مطلق یک عدد را می‌توان به عنوان فاصله آن از صفر در نظر گرفت.

سری متناوب

یک سری نامتناهی که جملات آن بین مثبت و منفی تغییر می‌کنند.

آزمون سری متناوب

روشی است که برای اثبات اینکه یک سری متناوب با جملاتی که قدر مطلق آن‌ها کاهش می‌یابد، یک سری همگرا است، استفاده می‌شود. این آزمون توسط گوتفریت لایبنیتس استفاده شد و گاهی به نام آزمون لایبنیتس، قاعده لایبنیتس یا معیار لایبنیتس شناخته می‌شود.

طوق

یک شیء حلقوی‌شکل، ناحیه‌ای که توسط دو دایره هم‌مرکز محدود شده است.

پاد مشتق

یک پاد مشتق، تابع اولیه، انتگرال اولیه یا انتگرال نامعین از یک تابع f، یک تابع مشتق‌پذیر F است که مشتق آن برابر با تابع اصلی f باشد. این را می‌توان به‌صورت نمادین به شکل $F'=f$ بیان کرد. فرایند حل برای یافتن پاد مشتق‌ها، پاد مشتق‌گیری (یا انتگرال‌گیری نامعین) نامیده می‌شود و عمل معکوس آن، مشتق‌گیری است که فرایند یافتن مشتق است.

آرکسین

مساحت زیر منحنی

مجانب

در هندسه تحلیلی، یک مجانب برای یک منحنی، خطی است که فاصله بین منحنی و آن خط، با میل کردن یکی یا هر دو مختصات x یا y به بی‌نهایت، به صفر نزدیک می‌شود. برخی منابع شامل این شرط هستند که منحنی نباید بی‌نهایت بار خط را قطع کند، اما این برای نویسندگان مدرن غیرمعمول است. در هندسه تصویری و زمینه‌های مرتبط، مجانب یک منحنی خطی است که در نقطه در بینهایت بر منحنی مماس است.

دیفرانسیل‌گیری خودکار

در ریاضیات و جبر رایانه‌ای، دیفرانسیل‌گیری خودکار (AD)، که دیفرانسیل‌گیری الگوریتمی یا دیفرانسیل‌گیری محاسباتی نیز نامیده می‌شود، مجموعه‌ای از تکنیک‌ها برای ارزیابی عددی مشتق یک تابع است که توسط یک برنامه رایانه‌ای مشخص شده است. AD از این واقعیت بهره می‌برد که هر برنامه رایانه‌ای، فارغ از پیچیدگی، دنباله‌ای از عملیات حسابی مقدماتی (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و غیره) و توابع مقدماتی (exp، log، sin، cos و غیره) را اجرا می‌کند. با اعمال مکرر قاعده زنجیره‌ای بر این عملیات، مشتقات با هر مرتبه‌ای را می‌توان به‌طور خودکار، با دقت محاسباتی و با استفاده از حداکثر یک ضریب ثابتِ بیشتر از عملیات حسابی برنامه اصلی، محاسبه کرد.

نرخ متوسط تغییر

B

ضریب دوجمله‌ای

هر یک از اعداد صحیح مثبتی که به عنوان ضریب در بسط دوجمله‌ای ظاهر می‌شود، یک ضریب دوجمله‌ای است. معمولاً، یک ضریب دوجمله‌ای با یک جفت عدد صحیح n ≥ k ≥ 0 نمایه‌گذاری می‌شود و به صورت ${\tbinom {n}{k}}.$ نوشته می‌شود. این ضریبِ جمله x^k در بسط چندجمله‌ایِ توانِ دوجمله‌ای (1 + x)ⁿ است و با فرمول زیر داده می‌شود:

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.$

بسط دوجمله‌ای

بسط جبری توان‌های یک دوجمله‌ای را توصیف می‌کند.

تابع کراندار

یک تابع f تعریف‌شده روی یک مجموعه X با مقادیر حقیقی یا مختلط را کراندار می‌نامند، اگر مجموعه مقادیر آن یک مجموعه کراندار باشد. به عبارت دیگر، وجود دارد یک عدد حقیقی M به‌طوری که:

$|f(x)|\leq M$

برای همه xها در X. تابعی که کراندار نیست را بیکران می‌نامند.

گاهی اوقات، اگر f(x) ≤ A برای همه xها در X باشد، گفته می‌شود تابع توسط A از بالا کراندار است. از سوی دیگر، اگر f(x) ≥ B برای همه xها در X باشد، گفته می‌شود تابع توسط B از پایین کراندار است.

دنباله کراندار

.

C

حسابان

(از لاتین calculus، به معنای تحت‌اللفظی «سنگ‌ریزه»، که برای شمارش و محاسبات، مانند چرتکه استفاده می‌شد) مطالعه ریاضی تغییرات پیوسته است، به همان شیوه‌ای که هندسه مطالعه شکل و جبر مطالعه تعمیم‌های حساب است.

اصل کاوالیری

اصل کاوالیری، یک پیاده‌سازی مدرن از روش تجزیه‌ناپذیرها، که به نام بوناونتورا کاوالیری نام‌گذاری شده است، به شرح زیر است:

• حالت دوبعدی: فرض کنید دو ناحیه در یک صفحه بین دو خط موازی در آن صفحه محصور شده‌اند. اگر هر خط موازی با این دو خط، هر دو ناحیه را در پاره‌خط‌هایی با طول برابر قطع کند، آنگاه آن دو ناحیه مساحت‌های برابر دارند.
• حالت سه‌بعدی: فرض کنید دو ناحیه در فضای سه‌بعدی (اجسام صلب) بین دو صفحه موازی محصور شده‌اند. اگر هر صفحه موازی با این دو صفحه، هر دو ناحیه را در سطح مقطع‌هایی با مساحت برابر قطع کند، آنگاه آن دو ناحیه حجم‌های برابر دارند.

قاعده زنجیره‌ای

قاعده زنجیره‌ای یک فرمول برای محاسبه مشتق ترکیب دو یا چند تابع است. یعنی اگر f و g دو تابع باشند، قاعده زنجیره‌ای مشتق ترکیب آن‌ها f ∘ g (تابعی که x را به f(g(x)) نگاشت می‌کند) را برحسب مشتقات f و g و ضرب توابع به صورت زیر بیان می‌کند:

$(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'.$

این را می‌توان به طور معادل برحسب متغیر بیان کرد. فرض کنید F = f ∘ g، یا به طور معادل، F(x) = f(g(x)) برای همه x. در این صورت می‌توان نوشت:

$F'(x)=f'(g(x))g'(x).$

قاعده زنجیره‌ای را می‌توان در نماد لایبنیتس به صورت زیر نوشت. اگر متغیر z به متغیر y وابسته باشد، که خود به متغیر x وابسته است، به طوری که y و z متغیرهای وابسته هستند، آنگاه z از طریق متغیر واسطه y، به x نیز وابسته است. در این صورت قاعده زنجیره‌ای بیان می‌کند:

${\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}.$

این دو نسخه از قاعده زنجیره‌ای با هم مرتبط هستند؛ اگر $z=f(y)$ و $y=g(x)$ باشد، آنگاه

${\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}=f'(y)g'(x)=f'(g(x))g'(x).$

در انتگرال‌گیری، همتای قاعده زنجیره‌ای، تغییر متغیر است.

تغییر متغیر

یک تکنیک اساسی است که برای ساده‌سازی مسائلی استفاده می‌شود که در آن‌ها متغیرهای اصلی با توابعی از متغیرهای دیگر جایگزین می‌شوند. هدف این است که وقتی مسئله با متغیرهای جدید بیان می‌شود، ممکن است ساده‌تر شود یا با مسئله‌ای که بهتر شناخته شده است، معادل گردد.

هم‌تابع

یک تابع f، هم‌تابع (cofunction) تابع g است اگر به ازای هر زاویه متمم A و B، داشته باشیم f(A) = g(B). این تعریف معمولاً برای توابع مثلثاتی کاربرد دارد. پیشوند «co-» را می‌توان از قبل در کتاب Canon triangulorum (۱۶۲۰) اثر ادموند گانتر یافت.

تابع مقعر

منفیِ یک تابع محدب است. یک تابع مقعر را به طور مترادف، مقعر رو به پایین، مقعر پایین، محدب رو به بالا، کلاهک محدب یا محدب بالایی نیز می‌نامند.

ثابت انتگرال‌گیری

انتگرال نامعین یک تابع داده‌شده (یعنی مجموعه تمام پاد مشتق‌های آن تابع) روی یک دامنه همبند تنها در حد یک ثابت جمعی تعریف می‌شود که به آن ثابت انتگرال‌گیری می‌گویند. این ثابت بیانگر ابهامی است که در ساخت پاد مشتق‌ها وجود دارد. اگر تابع $f(x)$ روی یک بازه تعریف شده باشد و $F(x)$ یک پاد مشتق برای $f(x)$ باشد، آنگاه مجموعه تمام پاد مشتق‌های $f(x)$ توسط توابع $F(x)+C$ داده می‌شود، که در آن C یک ثابت دلخواه است (به این معنی که هر مقداری برای C، تابع $F(x)+C$ را به یک پاد مشتق معتبر تبدیل می‌کند). ثابت انتگرال‌گیری گاهی برای سادگی در فهرست‌های انتگرال‌ها حذف می‌شود.

تابع پیوسته

تابعی است که در آن تغییرات به اندازه کافی کوچک در ورودی، منجر به تغییرات دلخواه کوچک در خروجی می‌شود. در غیر این صورت، گفته می‌شود که تابع ناپیوسته است. یک تابع پیوسته با تابع وارون پیوسته را هومئومورفیسم می‌نامند.

همواری (پیوسته مشتق‌پذیر)

گفته می‌شود تابع f «پیوسته مشتق‌پذیر» است اگر مشتق f′(x) وجود داشته باشد و خود یک تابع پیوسته باشد.

انتگرال‌گیری کانتور

در شاخه ریاضی آنالیز مختلط، انتگرال‌گیری کانتور روشی برای محاسبه انتگرال‌های خاص در امتداد مسیرهایی در صفحه مختلط است.

آزمون‌های همگرایی

روش‌هایی برای بررسی همگرایی، همگرایی مشروط، همگرایی مطلق، بازه همگرایی یا واگرایی یک سری نامتناهی $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ هستند.

سری همگرا

در ریاضیات، یک سری، مجموع جملات یک دنباله نامتناهی از اعداد است. با داشتن دنباله نامتناهی $\left(a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots \right)$، n-امین مجموع جزئی $S_{n}$، مجموع n جمله اول دنباله است، یعنی:

$S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.$

یک سری همگرا است اگر دنباله مجموع‌های جزئی آن $\left\{S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\dots \right\}$ به یک حد میل کند؛ این بدان معناست که با افزایش تعداد جملات، مجموع‌های جزئی به یک عدد مشخص نزدیک و نزدیک‌تر می‌شوند. به طور دقیق‌تر، یک سری همگرا است اگر عدد $\ell$ وجود داشته باشد به طوری که برای هر عدد مثبت دلخواه کوچک $\varepsilon$، یک عدد صحیح (به اندازه کافی بزرگ) $N$ وجود داشته باشد که برای همه $n\geq \ N$، داشته باشیم:

$\left|S_{n}-\ell \right\vert \leq \ \varepsilon .$

اگر سری همگرا باشد، عدد $\ell$ (که لزوماً یکتاست) را مجموع سری می‌نامند.

هر سری که همگرا نباشد، واگرا نامیده می‌شود.

تابع محدب

در ریاضیات، یک تابع با مقدار حقیقی که روی یک بازه n-بعدی تعریف شده است، محدب (یا محدب رو به پایین یا مقعر رو به بالا) نامیده می‌شود اگر پاره‌خط بین هر دو نقطه روی نمودار تابع، در یک فضای اقلیدسی (یا به طور کلی‌تر یک فضای برداری) با حداقل دو بعد، بالای نمودار یا روی آن قرار گیرد. به طور معادل، یک تابع محدب است اگر اپی‌گراف آن (مجموعه نقاط روی نمودار تابع یا بالای آن) یک مجموعه محدب باشد. برای یک تابع دو بار مشتق‌پذیر از یک متغیر، اگر مشتق دوم همیشه بزرگتر یا مساوی صفر برای کل دامنه آن باشد، آنگاه تابع محدب است. نمونه‌های شناخته‌شده از توابع محدب شامل تابع مربعی $x^{2}$ و تابع نمایی $e^{x}$ هستند.

قاعده کرامر

در جبر خطی، قاعده کرامر یک فرمول صریح برای حل دستگاه معادلات خطی با تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات است که هرگاه دستگاه دارای جواب یکتا باشد، معتبر است. این قاعده جواب را برحسب دترمینان‌های ماتریس ضرایب (مربعی) و ماتریس‌هایی که با جایگزینی یک ستون با بردار ستونی سمت راست معادلات به دست می‌آیند، بیان می‌کند. این قاعده به نام گابریل کرامر (۱۷۰۴–۱۷۵۲) نام‌گذاری شده است که این قاعده را برای تعداد دلخواهی از مجهولات در سال ۱۷۵۰ منتشر کرد، اگرچه کولین مک‌لورین نیز موارد خاصی از این قاعده را در سال ۱۷۴۸ منتشر کرده بود (و احتمالاً از سال ۱۷۲۹ از آن آگاه بوده است).

نقطه بحرانی

یک نقطه بحرانی یا نقطه مانا برای یک تابع مشتق‌پذیر از یک متغیر حقیقی یا مختلط، هر مقداری در دامنه آن است که در آن مشتق برابر با ۰ باشد.

منحنی

یک منحنی (که در متون قدیمی‌تر خط منحنی نیز نامیده می‌شد) به طور کلی، شیئی مشابه خط است اما لزوماً صاف نیست.

طراحی منحنی

در هندسه، طراحی منحنی (یا ترسیم منحنی) شامل تکنیک‌هایی است که می‌توان از آن‌ها برای ایجاد یک ایده کلی از شکل کلی یک منحنی مسطح با داشتن معادله آن، بدون محاسبه تعداد زیادی از نقاط مورد نیاز برای رسم دقیق، استفاده کرد. این کاربردی از نظریه منحنی‌ها برای یافتن ویژگی‌های اصلی آن‌هاست. در اینجا ورودی یک معادله است. در هندسه دیجیتال، این روشی برای رسم منحنی پیکسل به پیکسل است. در اینجا ورودی یک آرایه (تصویر دیجیتال) است.

موج سینوسی میرا

یک تابع سینوسی است که دامنه آن با افزایش زمان به سمت صفر میل می‌کند.

درجه چندجمله‌ای

بیشترین درجه تک‌جمله‌ای‌های آن (جملات منفرد) با ضرایب غیرصفر است. درجه یک جمله، مجموع توان‌های متغیرهایی است که در آن ظاهر می‌شوند و بنابراین یک عدد صحیح غیرمنفی است.

مشتق

مشتق یک تابع متغیر حقیقی، میزان حساسیت تغییر مقدار تابع (مقدار خروجی) را نسبت به تغییر در شناسه آن (مقدار ورودی) اندازه‌گیری می‌کند. مشتق‌ها ابزاری بنیادی در حسابان هستند. برای مثال، مشتق مکان یک جسم متحرک نسبت به زمان، سرعت آن جسم است: این مقدار اندازه‌گیری می‌کند که با پیشروی زمان، مکان جسم با چه سرعتی تغییر می‌کند.

آزمون مشتق

یک آزمون مشتق از مشتق‌های یک تابع برای یافتن نقاط بحرانی آن استفاده می‌کند تا مشخص شود هر نقطه یک بیشینه موضعی، کمینه موضعی یا نقطه زینی است. آزمون‌های مشتق همچنین می‌توانند اطلاعاتی درباره تحدب یا تقعر یک تابع ارائه دهند.

تابع مشتق‌پذیر

یک تابع مشتق‌پذیر از یک متغیر حقیقی، تابعی است که مشتق آن در هر نقطه از دامنه‌اش وجود داشته باشد. در نتیجه، نمودار یک تابع مشتق‌پذیر باید در هر نقطه از دامنه‌اش دارای یک خط مماس (غیرعمودی) باشد، نسبتاً هموار باشد و نباید شامل هیچ شکستگی، خمیدگی یا تیزی باشد.

دیفرانسیل (بی‌نهایت‌کوچک)

اصطلاح دیفرانسیل در حسابان برای اشاره به یک تغییر بی‌نهایت‌کوچک (به‌طور بی‌نهایت کوچک) در یک کمیت متغیر استفاده می‌شود. برای مثال، اگر x یک متغیر باشد، تغییر در مقدار x اغلب با Δx (خوانده می‌شود دلتا x) نشان داده می‌شود. دیفرانسیل dx نشان‌دهنده یک تغییر بی‌نهایت کوچک در متغیر x است. ایده تغییر بی‌نهایت کوچک یا تغییر بی‌نهایت کند، به‌طور شهودی بسیار مفید است و روش‌های متعددی برای دقیق‌سازی ریاضی این مفهوم وجود دارد. با استفاده از حسابان، می‌توان تغییرات بی‌نهایت کوچک متغیرهای مختلف را با استفاده از مشتق‌ها به‌طور ریاضی به یکدیگر مرتبط کرد. اگر y تابعی از x باشد، دیفرانسیل dy از y با استفاده از فرمول زیر به dx مرتبط می‌شود:

$dy={\frac {dy}{dx}}\,dx,$

که در آن dy/dx نشان‌دهنده مشتق y نسبت به x است. این فرمول، ایده شهودیِ اینکه مشتق y نسبت به x حدِ نسبتِ تغییرات Δy/Δx در زمانی است که Δx بی‌نهایت‌کوچک می‌شود را خلاصه می‌کند.

حساب دیفرانسیل

زیرمجموعه‌ای از حسابان است که به مطالعه نرخ تغییرات کمیت‌ها می‌پردازد. این یکی از دو بخش سنتی حسابان است؛ بخش دیگر حساب انتگرال است که به مطالعه مساحت زیر یک منحنی می‌پردازد.

معادله دیفرانسیل

یک معادله ریاضی است که یک تابع را با مشتق‌هایش مرتبط می‌کند. در کاربردها، توابع معمولاً نشان‌دهنده کمیت‌های فیزیکی، مشتق‌ها نشان‌دهنده نرخ تغییرات آن‌ها و معادله نشان‌دهنده رابطه‌ای بین این دو است.

عملگر دیفرانسیلی

.

دیفرانسیل یک تابع

در حسابان، دیفرانسیل نشان‌دهنده بخش اصلی تغییر در یک تابع y = f(x) نسبت به تغییرات در متغیر مستقل است. دیفرانسیل dy به صورت زیر تعریف می‌شود:

$dy=f'(x)\,dx,$

که در آن $f'(x)$ مشتق f نسبت به x است و dx یک متغیر حقیقی اضافی است (به طوری که dy تابعی از x و dx باشد). نمادگذاری به گونه‌ای است که معادله

$dy={\frac {dy}{dx}}\,dx$

برقرار است، که در آن مشتق با نمادگذاری لایبنیتس dy/dx نمایش داده می‌شود و این با در نظر گرفتن مشتق به عنوان خارج‌قسمت دیفرانسیل‌ها سازگار است. همچنین می‌توان نوشت:

$df(x)=f'(x)\,dx.$

معنای دقیق متغیرهای dx و dy به زمینه کاربرد و سطح دقت ریاضی مورد نیاز بستگی دارد. دامنه این متغیرها اگر دیفرانسیل به عنوان یک فرم دیفرانسیل خاص در نظر گرفته شود، می‌تواند اهمیت هندسی ویژه‌ای داشته باشد، یا اگر دیفرانسیل به عنوان یک تقریب خطی برای افزایش یک تابع در نظر گرفته شود، اهمیت تحلیلی پیدا می‌کند. به‌طور سنتی، متغیرهای dx و dy بسیار کوچک (بی‌نهایت‌کوچک) در نظر گرفته می‌شوند و این تفسیر در آنالیز غیراستاندارد دقیق‌سازی می‌شود.

قواعد دیفرانسیل‌گیری

.

آزمون مقایسه مستقیم

یک آزمون همگرایی که در آن یک سری نامتناهی یا یک انتگرال ناسره با سری یا انتگرالی که ویژگی‌های همگرایی آن معلوم است، مقایسه می‌شود.

آزمون دیریکله

روشی برای آزمون همگرایی یک سری است. این آزمون به نام مؤلف آن یوهان پتر گوستاف لوژون دیریکله نام‌گذاری شده و پس از مرگ او در سال ۱۸۶۲ در نشریه ژورنال ریاضیات محض و کاربردی منتشر شد. این آزمون بیان می‌کند که اگر $\{a_{n}\}$ یک دنباله از اعداد حقیقی و $\{b_{n}\}$ یک دنباله از اعداد مختلط باشد که شرایط زیر را برآورده کنند:

• $a_{n+1}\leq a_{n}$

• $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$

• $\left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M$ برای هر عدد صحیح مثبت N

که در آن M یک مقدار ثابت است، آنگاه سری

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$

همگرا است.

روش پوسته

که در حساب انتگرال به عنوان روش دیسک نیز شناخته می‌شود، ابزاری برای محاسبه حجم یک جسم دورانی از یک ماده جامد هنگام انتگرال‌گیری در امتداد یک محور «موازی» با محور دوران است.

سری واگرا

یک سری نامتناهی است که همگرا نیست؛ به این معنی که دنباله نامتناهیِ مجموع‌های جزئی آن، دارای یک حد متناهی نیست.

ناپیوستگی

توابع پیوسته در ریاضیات، توابع و کاربردها از اهمیت فوق‌العاده‌ای برخوردارند. با این حال، همه توابع پیوسته نیستند. اگر تابعی در نقطه‌ای از دامنه‌اش پیوسته نباشد، گفته می‌شود که در آن نقطه دارای ناپیوستگی است. مجموعه تمام نقاط ناپیوستگی یک تابع می‌تواند یک مجموعه گسسته، یک مجموعه چگال یا حتی کل دامنه تابع باشد.

ضرب داخلی

در ریاضیات، ضرب داخلی یا ضرب اسکالر یک عملیات جبری است که دو دنباله از اعداد با طول برابر (معمولاً بردارهای مختصاتی) را می‌گیرد و یک عدد واحد برمی‌گرداند. در هندسه اقلیدسی، ضرب داخلیِ مختصات دکارتیِ دو بردار به‌طور گسترده استفاده می‌شود و اغلب «ضرب داخلیِ» فضای اقلیدسی نامیده می‌شود، اگرچه این تنها ضرب داخلی قابل تعریف در فضای اقلیدسی نیست؛ همچنین ببینید فضای ضرب داخلی.

انتگرال دوگانه

انتگرال چندگانه، یک انتگرال معین از یک تابع با بیش از یک متغیر حقیقی است، برای مثال f(x, y) یا f(x, y, z). انتگرال‌های یک تابع دو متغیره روی یک ناحیه در R² را انتگرال‌های دوگانه و انتگرال‌های یک تابع سه متغیره روی یک ناحیه از R³ را انتگرال‌های سه‌گانه می‌نامند.

الگو:پایان واژه‌نامه

E

E (عدد)

عدد e یک ثابت ریاضی است که پایه لگاریتم طبیعی محسوب می‌شود: تنها عددی که لگاریتم طبیعی آن برابر با یک است. این عدد تقریباً برابر با ۲٫۷۱۸۲۸ است، و حد عبارت (1 + 1/n)ⁿ هنگامی که n به بی‌نهایت میل می‌کند، می‌باشد؛ عبارتی که در مطالعه بهره مرکب پدیدار می‌شود. این عدد همچنین می‌تواند به صورت مجموع سری نامتناهی زیر محاسبه شود:

$e=\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {1}{n!}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots$

انتگرال بیضوی

در حساب انتگرال، انتگرال‌های بیضوی در ابتدا در ارتباط با مسئله تعیین طول قوس یک بیضی پدیدار شدند. آن‌ها برای نخستین بار توسط جولیو فاگنانو و لئونهارت اویلر (ح. 1750) مطالعه شدند. ریاضیات مدرن یک «انتگرال بیضوی» را به عنوان هر تابعی مانند f تعریف می‌کند که بتواند به شکل زیر بیان شود:

$f(x)=\int _{c}^{x}R\left(t,{\sqrt {P(t)}}\right)\,dt,$

که در آن R یک تابع گویا از دو آرگومان خود، P یک چندجمله‌ای از درجه ۳ یا ۴ بدون ریشه‌های تکراری، و c یک ثابت است.

ناپیوستگی اساسی

برای یک ناپیوستگی اساسی، تنها کافی است که یکی از دو حد یک‌طرفه وجود نداشته باشد یا بی‌نهایت باشد. تابع زیر را در نظر بگیرید:

$f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\{\frac {1}{x-1}}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}$

در این صورت، نقطه $\scriptstyle x_{0}\;=\;1$ یک «ناپیوستگی اساسی» است.

در این حالت، $\scriptstyle L^{-}$ وجود ندارد و $\scriptstyle L^{+}$ بی‌نهایت است – بنابراین دو بار شرایط ناپیوستگی اساسی را برآورده می‌کند. پس x₀ یک «ناپیوستگی اساسی»، «ناپیوستگی بی‌نهایت» یا «ناپیوستگی نوع دوم» است. (این با اصطلاح تکینگی اساسی که اغلب هنگام مطالعه توابع متغیرهای مختلط استفاده می‌شود، متفاوت است.)

روش اویلر

روش اویلر یک روش عددی برای حل معادله دیفرانسیل مرتبه اول درجه اول با یک مقدار اولیه داده‌شده است. این روش، ابتدایی‌ترین روش صریح برای انتگرال‌گیری عددی معادلات دیفرانسیل معمولی و ساده‌ترین روش‌های رونگه‐کوتا است. روش اویلر به نام لئونهارت اویلر نام‌گذاری شده است که آن را در کتاب خود با عنوان Institutionum calculi integralis (منتشرشده در ۱۷۶۸–۱۷۷۰) بررسی کرد.

تابع نمایی

در ریاضیات، یک تابع نمایی تابعی به شکل زیر است:

$f(x)=ab^{x},$

که در آن b یک عدد حقیقی مثبت است و آرگومان x به عنوان توان ظاهر می‌شود. برای اعداد حقیقی c و d، تابعی به شکل $f(x)=ab^{cx+d}$ نیز یک تابع نمایی است، زیرا می‌توان آن را به صورت زیر بازنویسی کرد:

$ab^{cx+d}=\left(ab^{d}\right)\left(b^{c}\right)^{x}.$

قضیه مقدار کرانی

بیان می‌کند که اگر یک تابع حقیقی‌مقدار f بر روی بازه بسته [a,b] پیوسته باشد، آنگاه f باید حداقل یک بار به بیشینه و کمینه خود برسد. یعنی اعداد c و d در [a,b] وجود دارند به طوری که:

$f(c)\geq f(x)\geq f(d)\quad {\text{for all }}x\in [a,b].$

یک قضیه مرتبط، قضیه کرانداری است که بیان می‌کند یک تابع پیوسته f در بازه بسته [a,b] بر روی آن بازه کراندار است. یعنی اعداد حقیقی m و M وجود دارند به طوری که:

$m<f(x)<M\quad {\text{for all }}x\in [a,b].$

قضیه مقدار کرانی، قضیه کرانداری را با بیان اینکه تابع نه تنها کراندار است، بلکه کران بالای خود را به عنوان بیشینه و کران پایین خود را به عنوان کمینه می‌پذیرد، غنی‌تر می‌کند.

اکسترمم

در آنالیز ریاضی، بیشینه و کمینه (جمع‌های ماکزیمم و مینیمم) یک تابع، که در مجموع اکسترمم (جمع اکسترمم) نامیده می‌شوند، بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع هستند، که یا در یک محدوده مشخص (اکسترمم‌های محلی یا نسبی) یا در کل دامنه تابع (اکسترمم‌های سراسری یا مطلق) قرار دارند. پیر دو فرما یکی از نخستین ریاضی‌دانانی بود که یک تکنیک کلی به نام adequality را برای یافتن بیشینه و کمینه توابع پیشنهاد کرد. همان‌طور که در نظریه مجموعه‌ها تعریف شده است، بیشینه و کمینه یک مجموعه به ترتیب بزرگترین و کوچکترین عضو آن مجموعه هستند. مجموعه‌های نامتناهی کران‌دار نشده، مانند مجموعه اعداد حقیقی، هیچ کمینه یا بیشینه‌ای ندارند.

الگو:پایان واژه‌نامه

F

فرمول فا دی برونو

یک اتحاد در ریاضیات است که قاعده زنجیره‌ای را به مشتقات مرتبه بالاتر تعمیم می‌دهد و به نام فرانچسکو فاآ دی برونو (1855, 1857) نام‌گذاری شده است، اگرچه او نخستین کسی نبود که این فرمول را بیان یا اثبات کرد. در سال ۱۸۰۰، بیش از ۵۰ سال پیش از فاآ دی برونو، ریاضی‌دان فرانسوی لوئیس آربوگاست این فرمول را در یک کتاب درسی حساب دیفرانسیل بیان کرد، که به عنوان نخستین مرجع منتشرشده در این زمینه در نظر گرفته می‌شود. شاید شناخته‌شده‌ترین شکل فرمول فا دی برونو این باشد که:

${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,1!^{m_{1}}\,m_{2}!\,2!^{m_{2}}\,\cdots \,m_{n}!\,n!^{m_{n}}}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_{j}},$

که در آن مجموع بر روی تمام n-چندتایی‌های اعداد صحیح نامنفی (m₁, …, m_n) است که شرط زیر را برآورده می‌کنند:

$1\cdot m_{1}+2\cdot m_{2}+3\cdot m_{3}+\cdots +n\cdot m_{n}=n.$

گاهی اوقات، برای دادن یک الگوی به‌یادماندنی، آن را به شکلی می‌نویسند که در آن ضرایبی که دارای تفسیر ترکیبیاتی مورد بحث در زیر هستند، کمتر صریح باشند:

${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}.$

ترکیب جملات با مقدار یکسان m₁ + m₂ + ... + m_n = k و توجه به اینکه m _j باید برای j > n − k + 1 صفر باشد، منجر به فرمول ساده‌تری می‌شود که بر حسب چندجمله‌ای‌های بل B_n,k(x₁,...,x_n−k+1) بیان می‌شود:

${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).$

چندجمله‌ای درجه اول

آزمون مشتق اول

آزمون مشتق اول، ویژگی‌های یکنوایی یک تابع (جایی که تابع صعودی یا نزولی است) را با تمرکز بر یک نقطه خاص در دامنه آن بررسی می‌کند. اگر تابع در آن نقطه از صعودی به نزولی «تغییر جهت» دهد، آنگاه تابع در آن نقطه به بیشترین مقدار خود می‌رسد. به همین ترتیب، اگر تابع در آن نقطه از نزولی به صعودی «تغییر جهت» دهد، آنگاه به کمترین مقدار خود می‌رسد. اگر تابع «تغییر جهت» ندهد و صعودی یا نزولی باقی بماند، آنگاه هیچ بیشترین یا کمترین مقداری حاصل نمی‌شود.

حساب کسری

شاخه‌ای از آنالیز ریاضی است که امکانات مختلف تعریف توان‌های عدد حقیقی یا عدد مختلط برای عملگر دیفرانسیل D را مطالعه می‌کند:

$Df(x)={\dfrac {d}{dx}}f(x)$،

و برای عملگر انتگرال J:

$Jf(x)=\int _{0}^{x}\!\!\!\!f(s){ds}$،

و توسعه یک حسابان برای چنین عملگرهایی که حسابان کلاسیک را تعمیم می‌دهد.

در این زمینه، اصطلاح «توان‌ها» به کاربرد تکراری یک عملگر خطی بر روی یک تابع اشاره دارد، که تا حدودی شبیه به ترکیب تابع است که بر روی یک متغیر عمل می‌کند، یعنی f ^∘2(x) = f ∘ f (x) = f ( f (x) ).

هرم ناقص

در هندسه، یک هرم ناقص (جمع: frusta یا frustums) بخشی از یک جسم صلب (معمولاً یک مخروط یا هرم) است که بین یک یا دو صفحه موازی که آن را قطع می‌کنند، قرار دارد. یک هرم ناقص قائم، یک برش موازی از یک هرم قائم یا مخروط قائم است.

تابع

یک فرایند یا رابطه است که هر عضو x از یک مجموعه X، یعنی «دامنه» تابع را به یک عضو واحد y از مجموعه دیگر Y (که ممکن است همان مجموعه باشد)، یعنی «هم‌دامنه» تابع مرتبط می‌کند. اگر تابع f نامیده شود، این رابطه به صورت y = f (x) (خوانده می‌شود fِ x) نشان داده می‌شود؛ عضو x «شناسه» یا «ورودی» تابع است و y «مقدار تابع»، «خروجی» یا «تصویر» x تحت f است. نمادی که برای نمایش ورودی استفاده می‌شود، متغیر تابع است (اغلب گفته می‌شود که f تابعی از متغیر x است).

ترکیب تابع

عملیاتی است که دو تابع f و g را می‌گیرد و تابعی مانند h تولید می‌کند به طوری که h(x) = g(f(x)). در این عملیات، تابع g بر نتیجه اعمال تابع f بر x اعمال می‌شود. یعنی توابع f : X → Y و g : Y → Z با هم ترکیب می‌شوند تا تابعی را به دست دهند که x در X را به g(f(x)) در Z نگاشت می‌کند.

قضیه اساسی حسابان

قضیه اساسی حسابان، قضیه‌ای است که مفهوم مشتق‌گیری از یک تابع را با مفهوم انتگرال‌گیری از یک تابع پیوند می‌دهد. بخش نخست این قضیه، که گاهی «نخستین قضیه اساسی حسابان» نامیده می‌شود، بیان می‌کند که یکی از پاد مشتق‌ها (که انتگرال نامعین نیز نامیده می‌شود)، مثلاً F، از یک تابع f می‌تواند به عنوان انتگرال f با کران انتگرال‌گیری متغیر به دست آید. این موضوع وجود پاد مشتق‌ها برای توابع پیوسته را تضمین می‌کند. برعکس، بخش دوم قضیه، که گاهی «دومین قضیه اساسی حسابان» نامیده می‌شود، بیان می‌کند که انتگرال یک تابع f بر روی یک بازه می‌تواند با استفاده از هر یک از بی‌نهایت پاد مشتق آن، مثلاً F، محاسبه شود. این بخش از قضیه کاربردهای عملی کلیدی دارد، زیرا یافتن صریح پاد مشتق یک تابع از طریق انتگرال‌گیری نمادین، نیاز به انتگرال‌گیری عددی برای محاسبه انتگرال‌ها را از بین می‌برد. این امر به‌طور کلی دقت عددی بهتری را فراهم می‌کند.

الگو:پایان واژه‌نامه

G

قاعده عمومی لایبنیتس

قاعده عمومی لایبنیتس، که به نام گوتفریت لایبنیتس نام‌گذاری شده است، تعمیمی از قاعده ضرب (که به «قاعده لایبنیتس» نیز معروف است) می‌باشد. این قاعده بیان می‌کند که اگر $f$ و $g$ توابعی $n$ بار مشتق‌پذیر باشند، آنگاه حاصل‌ضرب $fg$ نیز $n$ بار مشتق‌پذیر است و $n$-امین مشتق آن به صورت زیر به دست می‌آید:

$(fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}g^{(k)},$

که در آن ${n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}$ ضریب دوجمله‌ای است و $f^{(0)}\equiv f.$

این قاعده را می‌توان با استفاده از قاعده ضرب و استقرای ریاضی اثبات کرد.

بیشینه مطلق

در آنالیز ریاضی، بیشینه و کمینه (جمع‌های «بیشینه» و «کمینه»)، که در مجموع اکسترمم نامیده می‌شوند، بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین مقدار یک تابع هستند که یا در یک بازه مشخص (اکسترمم‌های موضعی یا نسبی) و یا در کل دامنه تابع (اکسترمم‌های مطلق یا سراسری) تعریف می‌شوند. پیر دو فرما یکی از نخستین ریاضی‌دانانی بود که یک روش کلی به نام «آدکوئالیتی» (adequality) را برای یافتن بیشینه و کمینه توابع پیشنهاد کرد. همان‌طور که در نظریه مجموعه‌ها تعریف شده است، بیشینه و کمینه یک مجموعه به ترتیب همان بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین عضو آن مجموعه هستند. مجموعه‌های نامتناهی کران‌دار، مانند مجموعه اعداد حقیقی، فاقد کمینه یا بیشینه هستند.

کمینه مطلق

در آنالیز ریاضی، بیشینه و کمینه (جمع‌های «بیشینه» و «کمینه»)، که در مجموع اکسترمم نامیده می‌شوند، بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین مقدار یک تابع هستند که یا در یک بازه مشخص (اکسترمم‌های موضعی یا نسبی) و یا در کل دامنه تابع (اکسترمم‌های مطلق یا سراسری) تعریف می‌شوند. پیر دو فرما یکی از نخستین ریاضی‌دانانی بود که یک روش کلی به نام «آدکوئالیتی» (adequality) را برای یافتن بیشینه و کمینه توابع پیشنهاد کرد. همان‌طور که در نظریه مجموعه‌ها تعریف شده است، بیشینه و کمینه یک مجموعه به ترتیب همان بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین عضو آن مجموعه هستند. مجموعه‌های نامتناهی کران‌دار، مانند مجموعه اعداد حقیقی، فاقد کمینه یا بیشینه هستند.

مارپیچ طلایی

در هندسه، مارپیچ طلایی یک مارپیچ لگاریتمی است که ضریب رشد آن φ، یعنی نسبت طلایی است. به عبارت دیگر، مارپیچ طلایی به ازای هر یک‌چهارم دور چرخش، به اندازه ضریب φ پهن‌تر (یا از مبدأ خود دورتر) می‌شود.

گرادیان

تعمیمی چندمتغیره از مشتق است. در حالی که مشتق برای توابع تک‌متغیره تعریف می‌شود، برای توابع چندمتغیره، گرادیان جایگزین آن می‌گردد. گرادیان یک تابع برداری است، برخلاف مشتق که یک تابع اسکالر است.

الگو:پایان واژه‌نامه

H

تصاعد همساز

در ریاضیات، تصاعد همساز (یا دنباله همساز) تصاعدی است که از معکوس کردن جملات یک تصاعد حسابی به دست می‌آید. این یک دنباله به فرم زیر است:

${\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}}\ ,{\frac {1}{a+2d}}\ ,{\frac {1}{a+3d}}\ ,\cdots ,{\frac {1}{a+kd}},$

که در آن −a/d یک عدد طبیعی نیست و k یک عدد طبیعی است.

به‌طور معادل، یک دنباله زمانی تصاعد همساز است که هر جمله آن، میانگین همساز جملات مجاورش باشد.

مجموع جملات یک تصاعد همساز (به جز حالت بدیهی که a = 1 و k = 0 باشد) نمی‌تواند یک عدد صحیح باشد. دلیل آن این است که لزوماً حداقل یکی از مخرج‌های این تصاعد بر یک عدد اول بخش‌پذیر است که هیچ‌یک از مخرج‌های دیگر بر آن بخش‌پذیر نیستند.

مشتق مراتب بالاتر

فرض کنید f یک تابع مشتق‌پذیر باشد و f ′ مشتق آن باشد. مشتق f ′ (در صورت وجود) به صورت f ′′ نوشته می‌شود و مشتق دوم f نامیده می‌شود. به همین ترتیب، مشتقِ مشتق دوم، در صورت وجود، به صورت f ′′′ نوشته شده و مشتق سوم f نامیده می‌شود. با ادامه این فرایند، می‌توان در صورت وجود، n-امین مشتق را به عنوان مشتقِ (n-1)-امین مشتق تعریف کرد. این مشتق‌های مکرر، «مشتق‌های مراتب بالاتر» نامیده می‌شوند. n-امین مشتق را «مشتق مرتبه n» نیز می‌نامند.

معادله دیفرانسیل خطی همگن

یک معادله دیفرانسیل می‌تواند از دو جهت «همگن» باشد. یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول همگن نامیده می‌شود اگر بتوان آن را به صورت زیر نوشت:

$f(x,y)dy=g(x,y)dx,$

که در آن f و g توابع همگن با درجه یکسان نسبت به x و y هستند. در این حالت، تغییر متغیر y = ux منجر به معادله‌ای به فرم زیر می‌شود:

${\frac {dx}{x}}=h(u)du,$

که حل آن با انتگرال‌گیری از دو طرف معادله آسان است.

در غیر این صورت، یک معادله دیفرانسیل همگن است اگر یک تابع همگن از تابع مجهول و مشتقات آن باشد. در مورد معادله دیفرانسیل خطی، این بدان معناست که هیچ جمله ثابتی وجود ندارد. جواب‌های هر معادله دیفرانسیل خطی معمولی با هر مرتبه‌ای را می‌توان با انتگرال‌گیری از جواب معادله همگنی که با حذف جمله ثابت به دست آمده است، استنتاج کرد.

تابع هذلولوی

توابع هذلولوی، آنالوگ‌هایی برای توابع مثلثاتی یا توابع دایره‌ای معمولی هستند.

الگو:پایان واژه‌نامه

I

تابع همانی

که با نام‌های رابطه همانی، نگاشت همانی یا تبدیل همانی نیز شناخته می‌شود، تابعی است که همواره همان مقداری را بازمی‌گرداند که به عنوان شناسه به آن داده شده است. در معادله‌ها، این تابع به صورت f(x) = x نمایش داده می‌شود.

عدد موهومی

یک عدد مختلط است که می‌تواند به صورت حاصل‌ضرب یک عدد حقیقی در یکه موهومی i نوشته شود، که با ویژگی i² = −1 تعریف می‌شود. مربع یک عدد موهومی bi برابر با −b² است. برای نمونه، 5i یک عدد موهومی است و مربع آن −25 می‌شود. عدد صفر هم حقیقی و هم موهومی در نظر گرفته می‌شود.

تابع ضمنی

در ریاضیات، معادله ضمنی یک رابطه به فرم $R(x_{1},\ldots ,x_{n})=0$ است که در آن $R$ یک تابع از چندین متغیر (اغلب یک چندجمله‌ای) است. برای نمونه، معادله ضمنی دایره واحد برابر با $x^{2}+y^{2}-1=0$ است. یک تابع ضمنی، تابعی است که به طور ضمنی توسط یک معادله ضمنی تعریف می‌شود و یکی از متغیرها (به عنوان مقدار) را به سایر متغیرها (به عنوان شناسه) مرتبط می‌سازد. بنابراین، یک تابع ضمنی برای $y$ در چارچوب دایره واحد به صورت ضمنی توسط $x^{2}+f(x)^{2}-1=0$ تعریف می‌شود. این معادله ضمنی، $f$ را تنها در صورتی به عنوان تابعی از $x$ تعریف می‌کند که $-1\leq x\leq 1$ باشد و تنها مقادیر نامنفی (یا نابیش‌از صفر) برای مقادیر تابع در نظر گرفته شود. قضیه تابع ضمنی شرایطی را فراهم می‌کند که تحت آن، برخی از انواع روابط، یک تابع ضمنی را تعریف می‌کنند؛ به‌ویژه روابطی که به عنوان تابع نشانگرِ مجموعه صفرِ یک تابع پیوسته‌مشتق‌پذیر چندمتغیره تعریف شده‌اند.

کسر

کسرهای متعارف را می‌توان به دو دسته سره یا ناسره طبقه‌بندی کرد. هنگامی که صورت و مخرج هر دو مثبت باشند، اگر صورت کوچک‌تر از مخرج باشد، کسر را سره و در غیر این صورت ناسره می‌نامند. به‌طور کلی، یک کسر متعارف را کسر سره می‌گویند اگر قدر مطلق آن اکیداً کوچک‌تر از یک باشد؛ یعنی کسر بزرگ‌تر از ۱- و کوچک‌تر از ۱ باشد. اگر قدر مطلق کسر بزرگ‌تر یا مساوی ۱ باشد، به آن کسر ناسره یا گاهی کسر سنگین می‌گویند. نمونه‌هایی از کسرهای سره عبارتند از ۲/۳، ۳/۴- و ۴/۹؛ نمونه‌هایی از کسرهای ناسره عبارتند از ۹/۴، ۴/۳- و ۳/۳.

انتگرال ناسره

در آنالیز ریاضی، انتگرال ناسره، حدِ یک انتگرال معین است، هنگامی که یک یا هر دو کران بازه انتگرال‌گیری به یک عدد حقیقی مشخص، $\infty$، $-\infty$ یا در برخی موارد به مقادیر حدی میل کنند. چنین انتگرالی اغلب به صورت نمادین دقیقاً مانند یک انتگرال معین استاندارد نوشته می‌شود، که در برخی موارد شامل «بی‌نهایت» به عنوان کران انتگرال است. به‌طور مشخص، یک انتگرال ناسره حدی به فرم زیر است:

$\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx,\qquad \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx,$

یا

$\lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\,dx,\quad \lim _{c\to a^{+}}\int _{c}^{b}f(x)\,dx,$

که در آن حد یکی از کران‌ها (یا گاهی هر دو) گرفته می‌شود (Apostol 1967, §10.23).

نقطه عطف

در حساب دیفرانسیل، یک نقطه عطف، نقطه خمیدگی یا عطف، نقطه‌ای بر روی یک منحنی مسطح پیوسته است که در آن منحنی از حالت مقعر (رو به پایین) به محدب (رو به بالا) یا برعکس تغییر وضعیت می‌دهد.

نرخ تغییرات لحظه‌ای

مشتق یک تابع از یک متغیر واحد در یک مقدار ورودی مشخص، در صورت وجود، برابر با شیب خط مماس بر نمودار تابع در آن نقطه است. خط مماس، بهترین تقریب خطی از تابع در نزدیکی آن مقدار ورودی است. به همین دلیل، مشتق اغلب به عنوان «نرخ تغییرات لحظه‌ای» توصیف می‌شود که نسبت تغییرات لحظه‌ای در متغیر وابسته به تغییرات متغیر مستقل است.

سرعت لحظه‌ای

اگر v را سرعت و x را بردار جابه‌جایی (تغییر در مکان) در نظر بگیریم، می‌توانیم سرعت (لحظه‌ای) یک ذره یا جسم را در هر زمان مشخص t، به عنوان مشتق مکان نسبت به زمان بیان کنیم:

${\boldsymbol {v}}=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta {\boldsymbol {x}}}{\Delta t}}={\frac {d{\boldsymbol {x}}}{d{\mathit {t}}}}.$

از این معادله مشتق، در حالت یک‌بعدی می‌توان دید که مساحت زیر نمودار سرعت بر حسب زمان (v بر حسب t) برابر با جابه‌جایی، x است. در اصطلاح حسابان، انتگرال تابع سرعت v(t) برابر با تابع جابه‌جایی x(t) است. در شکل، این موضوع با ناحیه زرد رنگ زیر منحنی که با s برچسب‌گذاری شده (s نماد جایگزین برای جابه‌جایی است) مطابقت دارد.

${\boldsymbol {x}}=\int {\boldsymbol {v}}\ d{\mathit {t}}.$

از آنجا که مشتق مکان نسبت به زمان، تغییر مکان (بر حسب متر) تقسیم بر تغییر زمان (بر حسب ثانیه) را به دست می‌دهد، سرعت با واحد متر بر ثانیه (m/s) اندازه‌گیری می‌شود. اگرچه مفهوم سرعت لحظه‌ای ممکن است در ابتدا خلاف شهود به نظر برسد، اما می‌توان آن را سرعتی در نظر گرفت که اگر جسم در آن لحظه از شتاب گرفتن دست بردارد، با آن سرعت به حرکت خود ادامه می‌دهد.

انتگرال

انتگرال، اعداد را به توابع به گونه‌ای نسبت می‌دهد که می‌تواند جابه‌جایی، مساحت، حجم و سایر مفاهیمی را که از ترکیب داده‌های بی‌نهایت‌کوچک حاصل می‌شوند، توصیف کند. انتگرال‌گیری یکی از دو عملیات اصلی حسابان است و عملیات معکوس آن، دیفرانسیل‌گیری، عملیات دیگر است.

نماد انتگرال

نماد انتگرال:

∫ (یونی‌کد), $\displaystyle \int$ (لاتخ)

برای نمایش انتگرال‌ها و پاد مشتق‌ها در ریاضیات استفاده می‌شود.

انتگرال

تابعی که قرار است در یک انتگرال، انتگرال‌گیری شود.

انتگرال‌گیری جزء به جزء

در حسابان و به‌طور کلی‌تر در آنالیز ریاضی، انتگرال‌گیری جزء به جزء یا انتگرال‌گیری جزئی، فرایندی است که انتگرالِ حاصل‌ضرب توابع را برحسب انتگرالِ مشتق و پاد مشتق آن‌ها می‌یابد. این روش اغلب برای تبدیل پاد مشتقِ حاصل‌ضرب توابع به پاد مشتقِ ساده‌تری که یافتن پاسخ آن آسان‌تر است، استفاده می‌شود. این قاعده به‌راحتی با انتگرال‌گیری از قاعده ضرب در دیفرانسیل‌گیری به دست می‌آید. اگر u = u(x) و du = u′(x) dx، و همچنین v = v(x) و dv = v′(x) dx باشد، آنگاه انتگرال‌گیری جزء به جزء بیان می‌کند که:

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\end{aligned}}$

یا به صورت فشرده‌تر:

$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$

ریاضی‌دان بروک تیلور انتگرال‌گیری جزء به جزء را کشف کرد و نخستین بار این ایده را در ۱۷۱۵ منتشر کرد. صورت‌بندی‌های کلی‌تری از انتگرال‌گیری جزء به جزء برای انتگرال ریمان–استیلتیس و انتگرال لبگ وجود دارد. معادل گسسته آن برای دنباله‌ها، مجموع‌یابی جزء به جزء نامیده می‌شود.

جانشینی مثلثاتی

که با نام جانشینی u نیز شناخته می‌شود، روشی برای حل انتگرال‌ها است. استفاده از قضیه اساسی حسابان اغلب مستلزم یافتن یک پاد مشتق است. به این دلیل و دلایل دیگر، انتگرال‌گیری با جانشینی ابزاری مهم در ریاضیات است. این روش، معادلِ قاعده زنجیره‌ای برای دیفرانسیل‌گیری است.

قضیه مقدار میانی

در آنالیز ریاضی، قضیه مقدار میانی بیان می‌کند که اگر یک تابع پیوسته، f، با بازه [a, b] به عنوان دامنه، مقادیر f(a) و f(b) را در دو انتهای بازه اختیار کند، آنگاه هر مقدار بین f(a) و f(b) را نیز در نقطه‌ای درون آن بازه اختیار می‌کند. این قضیه دو قضیه فرعی مهم دارد:

1. اگر یک تابع پیوسته در درون یک بازه، مقادیری با علامت مخالف داشته باشد، آنگاه ریشه‌ای در آن بازه دارد (قضیه بولتزانو).
2. تصویر یک تابع پیوسته بر روی یک بازه، خود یک بازه است.

توابع معکوس مثلثاتی

(که با نام‌های توابع آرکوس، توابع پادمثلثاتی یا توابع سیکلومتریک نیز شناخته می‌شوند) توابع وارونِ توابع مثلثاتی (با دامنه‌های محدودشده مناسب) هستند. به‌طور مشخص، این توابع، وارونِ توابع سینوس، کسینوس، تانژانت، کتانژانت، سکانت و کوسکانت هستند و برای به دست آوردن یک زاویه از هر یک از نسبت‌های مثلثاتی آن زاویه استفاده می‌شوند.

J

ناپیوستگی پرشی

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}$

در این صورت، نقطه x₀ = 1 یک «ناپیوستگی پرشی» است.

در این حالت، حد واحد وجود ندارد زیرا حدهای یک‌طرفه، L⁻ و L⁺، وجود دارند و متناهی هستند، اما با هم برابر نیستند: از آنجا که L⁻ ≠ L⁺، حد L وجود ندارد. در این صورت، x₀ را «ناپیوستگی پرشی»، «ناپیوستگی پله‌ای» یا «ناپیوستگی نوع اول» می‌نامند. برای این نوع ناپیوستگی، تابع f ممکن است هر مقداری در x₀ داشته باشد.

L

انتگرال لبگ

در ریاضیات، انتگرال یک تابع نامنفی از یک متغیر را می‌توان در ساده‌ترین حالت، به عنوان مساحت بین نمودار آن تابع و محور x در نظر گرفت. «انتگرال لبگ» انتگرال را به کلاس بزرگ‌تری از توابع گسترش می‌دهد. این مفهوم همچنین دامنه‌هایی را که این توابع می‌توانند روی آن‌ها تعریف شوند، گسترش می‌دهد.

قاعده هوپیتال

«قاعده هوپیتال» از مشتق‌ها برای کمک به ارزیابی حدهای شامل شکل نامعلوم استفاده می‌کند. کاربرد (یا کاربرد مکرر) این قاعده اغلب یک شکل نامعلوم را به عبارتی تبدیل می‌کند که با جایگذاری قابل ارزیابی است و ارزیابی حد را آسان‌تر می‌کند. این قاعده به نام ریاضی‌دان فرانسوی سده هفدهم، گیوم لوپیتال نام‌گذاری شده است. اگرچه سهم این قاعده اغلب به لوپیتال نسبت داده می‌شود، اما این قضیه برای نخستین بار در سال ۱۶۹۴ توسط ریاضی‌دان سوئیسی، یوهان برنولی به لوپیتال معرفی شد. قاعده هوپیتال بیان می‌کند که برای توابع f و g که بر روی یک بازه باز I مشتق‌پذیر هستند (به‌جز احتمالاً در نقطه c که در I قرار دارد)، اگر $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty ,$ $g'(x)\neq 0$ برای تمام x در I که x ≠ c باشد، و $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ وجود داشته باشد، آنگاه

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.$

دیفرانسیل‌گیری از صورت و مخرج اغلب کسر را ساده می‌کند یا آن را به حدی تبدیل می‌کند که مستقیماً قابل ارزیابی باشد.

آزمون مقایسه حدی

آزمون مقایسه حدی به فرد اجازه می‌دهد تا همگرایی یک سری را بر اساس همگرایی سری دیگر تعیین کند.

حد تابع

.

انتگرال

.

ترکیب خطی

در ریاضیات، ترکیب خطی یک عبارت است که از یک مجموعه از جملات با ضرب هر جمله در یک ثابت و جمع نتایج ساخته می‌شود (برای مثال، یک ترکیب خطی از x و y هر عبارتی به فرم ax + by خواهد بود که در آن a و b ثابت هستند). مفهوم ترکیب‌های خطی در جبر خطی و زمینه‌های مرتبط ریاضیات مرکزی است.

معادله خطی

معادله خطی معادله‌ای است که دو یا چند متغیر را به یکدیگر به فرم $a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0,$ مرتبط می‌کند، که در آن بالاترین توان هر متغیر برابر با ۱ است.

سامانه خطی

.

فهرست‌های انتگرال‌ها

.

لگاریتم

.

مشتق‌گیری لگاریتمی

.

بازه

.

M

قضیه مقدار میانگین

.

تابع یکنوا

.

انتگرال چندگانه

.

حسابان ضربی

.

حساب چندمتغیره

.

N

لگاریتم طبیعی

«لگاریتم طبیعی» یک عدد، لگاریتم آن در پایه ثابت ریاضی e است، که در آن e یک عدد گنگ و ترافرازنده است که تقریباً برابر با ۷۰۰۰۲۷۱۸۲۸۱۸۲۸۴۵۸۹۹♠۲٫۷۱۸۲۸۱۸۲۸۴۵۹ می‌باشد. لگاریتم طبیعی x معمولاً به صورت ln x، log_e x، یا گاهی اوقات اگر پایه e ضمنی باشد، به سادگی log x نوشته می‌شود. گاهی برای وضوح بیشتر از پرانتز استفاده می‌شود که به صورت ln(x)، log_e(x) یا log(x) در می‌آید. این کار به‌ویژه زمانی انجام می‌شود که آرگومان لگاریتم یک نماد واحد نباشد تا از ابهام جلوگیری شود.

حسابان غیرنیوتنی

.

حسابان غیراستاندارد

.

نمادگذاری‌های مشتق

.

انتگرال‌گیری عددی

.

O

حد یک-طرفه

.

معادله دیفرانسیل معمولی

.

P

قضیه پاپوس-گولدینوس

(که با نام‌های «قضیه گولدینوس»، «قضیه پاپوس-گولدینوس» یا «قضیه پاپوس» نیز شناخته می‌شود) یکی از دو قضیه مرتبطی است که با مساحت سطح و حجم‌های رویه‌ها و جسم‌های حاصل از دوران سروکار دارد.

سهمی

یک منحنی مسطح است که دارای تقارن آینه‌ای بوده و تقریباً به شکل U است. این منحنی با چندین توصیف ریاضی دیگر که ظاهراً متفاوت هستند مطابقت دارد، که همگی می‌توانند ثابت کنند دقیقاً همان منحنی‌ها را تعریف می‌کنند.

سهمی‌گون

.

مشتق جزئی

.

معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی

.

تجزیه کسر جزئی

.

جواب خصوصی

.

تابع چندضابطه‌ای

تابعی که توسط چندین زیر-تابع تعریف می‌شود که برای بازه‌های خاصی از دامنه تابع اعمال می‌شوند.

بردار مکان

.

قاعده توان

.

انتگرال ضربی

.

قاعده ضرب

.

کسر

.

تابع گویا

.

قضیه فیثاغورس

.

اتحاد مثلثاتی فیثاغورسی

.

Q

تابع مربعی

در جبر، یک «تابع مربعی»، «چندجمله‌ای درجه دوم»، «چندجمله‌ای درجه ۲» یا به سادگی «مربعی»، یک چندجمله‌ای با یک یا چند متغیر است که در آن بالاترین درجه جمله، درجه دوم است. برای مثال، یک تابع مربعی در سه متغیر x، y و z منحصراً شامل جملات x²، y²، z²، xy، xz، yz، x، y، z و یک ثابت است:

$f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,$

که در آن حداقل یکی از ضریب‌های a, b, c, d, e, یا f مربوط به جملات درجه دوم غیرصفر است.

یک تابع مربعی «تک‌متغیره» دارای فرم زیر است:

$f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0$

در متغیر واحد x. نمودار یک تابع مربعی تک‌متغیره یک سهمی است که محور تقارن آن موازی با محور y است، همان‌طور که در سمت راست نشان داده شده است.

اگر تابع مربعی برابر با صفر قرار داده شود، نتیجه یک معادله مربعی است. جواب‌های معادله تک‌متغیره را ریشه‌های تابع تک‌متغیره می‌نامند.

حالت دو متغیره برحسب متغیرهای x و y دارای فرم زیر است:

$f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f\,\!$

که در آن حداقل یکی از a, b, c مخالف صفر است، و معادله‌ای که این تابع را برابر با صفر قرار می‌دهد، منجر به یک مقطع مخروطی (دایره یا بیضی دیگر، سهمی یا هذلولی) می‌شود.

به‌طور کلی می‌تواند تعداد دلخواه زیادی از متغیرها وجود داشته باشد، که در این صورت رویه حاصل را رویه مربعی می‌نامند، اما بالاترین درجه جمله باید درجه ۲ باشد، مانند x²، xy، yz و غیره.

تابع مربعی

.

قاعده خارج‌قسمت

فرمولی برای یافتن مشتق تابعی که نسبت دو تابع است.

</article_wikicode>

R

رادیان

یکای اس‌آی برای اندازه‌گیری زاویه است و یکای استاندارد اندازه‌گیری زاویه‌ای است که در بسیاری از حوزه‌های ریاضیات استفاده می‌شود. طول کمان یک دایره واحد از نظر عددی با اندازه زاویه‌ای که آن کمان در مرکز دایره ایجاد می‌کند (به رادیان) برابر است؛ یک رادیان کمی کمتر از ۵۷٫۳ درجه است (بسط در  A072097). این یکا پیش‌تر یک یکای فرعی اس‌آی بود، اما این دسته‌بندی در سال ۱۹۹۵ لغو شد و رادیان اکنون یک یکای فرعی اس‌آی محسوب می‌شود. به‌طور جداگانه، یکای اندازه‌گیری زاویه فضایی در اس‌آی، استرادیان است.

آزمون نسبت

.

وارون ضربی

.

قاعده خارج‌قسمت

.

انتگرال ریمان

.

نرخ های مرتبط

.

ناپیوستگی رفع‌شدنی

.

قضیه رول

.

آزمون ریشه

.

S

اسکالر

.

خط سکانت

.

تابع مربعی

.

مشتق دوم

.

آزمون مشتق دوم

.

معادله دیفرانسیل مرتبه دوم

.

سری

.

روش پوسته

.

قاعده سیمپسون

.

سینوس

.

موج سینوسی

.

میدان شیب

.

قضیه فشردگی

.

قاعده جمع در مشتق‌گیری

.

قاعده جمع در انتگرال‌گیری

.

مجموع‌یابی

.

زاویه مکمل

.

سطح رویی

.

دستگاه معادلات خطی

.

T

جدول انتگرال‌ها

.

بسط تیلور

.

قضیه تیلور

.

تانژانت

.

چندجمله‌ای درجه سوم

.

مشتق سوم

.

چنبروار

.

دیفرانسیل کل

.

توابع مثلثاتی

.

اتحادهای مثلثاتی

.

انتگرال مثلثاتی

.

جانشینی مثلثاتی

.

مثلثات

.

انتگرال سه‌گانه

.

U

کران بالا

.

V

متغیر

.

بردار

.

حساب برداری

.

W

واشر

.

روش واشر

.

همچنین ببینید

• طرح کلی حسابان
• فهرست‌های اصطلاحات ریاضیات
• واژه‌نامه اخترشناسی
• واژه‌نامه زیست‌شناسی
• واژه‌نامه گیاه‌شناسی
• واژه‌نامه شیمی
• واژه‌نامه بوم‌شناسی
• واژه‌نامه مهندسی
• واژه‌نامه فیزیک
• واژه‌نامه احتمالات و آمار

منابع

آثار ذکرشده

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «[en:Calculus, Vol. 1 Calculus, Vol. 1]». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «[fr:Du calcul des derivations Du calcul des derivations]». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای فرانسوی.
• Butcher, John C. (2003). Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. New York: جان وایلی و پسران. ISBN 978-0-471-96758-3.
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «[en:Prehistory of Faà di Bruno's Formula Prehistory of Faà di Bruno's Formula]». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.
• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993). Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems. Berlin, New York: اشپرینگر ساینس+بیزینس مدیا. ISBN 978-3-540-56670-0.
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «[en:The Curious History of Faà di Bruno's Formula The Curious History of Faà di Bruno's Formula]». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

یادداشت‌ها

الگو:واژه‌نامه‌های علم و مهندسی الگو:انتگرال