آزمون سری متناوب

در آنالیز ریاضی، آزمون سری‌های متناوب اثبات می‌کند که یک سری متناوب زمانی همگرا است که قدر مطلق جملات آن به‌صورت یکنوا کاهش یابد و حد آن‌ها به صفر میل کند. این آزمون توسط گوتفریت لایبنیتس ابداع شد و گاهی با نام‌های آزمون لایبنیتس، قاعده لایبنیتس یا معیار لایبنیتس شناخته می‌شود. این آزمون تنها یک شرط کافی است، نه شرط لازم؛ بنابراین برخی از سری‌های متناوب همگرا ممکن است در بخش اول آزمون شکست بخورند.

برای تعمیم این آزمون، به آزمون دیریکله مراجعه کنید.

تاریخچه

لایبنیتس این معیار را در اثر منتشرنشدهٔ خود با عنوان De quadratura arithmetica در سال ۱۶۷۶ مورد بحث قرار داد و نتایج خود را در ژوئن ۱۷۰۵ با ژاکوب هرمن و در اکتبر ۱۷۱۳ با یوهان برنولی در میان گذاشت. این اثر تنها در سال ۱۹۹۳ به‌طور رسمی منتشر شد.

بیان رسمی

آزمون سری‌های متناوب

سری به فرم

$$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots$$

که در آن همهٔ a_nها مثبت یا همهٔ آن‌ها منفی هستند، یک سری متناوب نامیده می‌شود.

آزمون سری‌های متناوب تضمین می‌کند که یک سری متناوب در صورت برقراری دو شرط زیر همگراست:

1. $|a_{n}|$ به‌صورت یکنوا کاهش یابد، یعنی $|a_{n+1}|\leq |a_{n}|$، و
2. $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$.

قضیه تخمین سری متناوب

علاوه بر این، اگر L مجموع سری را نشان دهد، مجموع جزئی ${\textstyle S_{k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}\!}$ مقدار L را با خطایی که توسط جملهٔ حذف‌شدهٔ بعدی محدود می‌شود، تقریب می‌زند:

$$\left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k+1}\right\vert =a_{k+1}.\!$$

اثبات

فرض کنید سری به فرم ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}\!}$ داده‌شده است، که در آن $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$ و $a_{n}\geq a_{n+1}$ برای تمام اعداد طبیعی n برقرار است. (حالت ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!}$ با منفی کردن سری حاصل می‌شود)

اثبات آزمون سری‌های متناوب

همچنین ببینید: [[:اثبات جایگزین با استفاده از آزمون کوشی]] و سری (ریاضیات) § آزمون سری‌های متناوب

ما اثبات می‌کنیم که هم مجموع‌های جزئی ${\textstyle S_{2m+1}=\sum _{n=1}^{2m+1}(-1)^{n-1}a_{n}}$ با تعداد فرد جملات، و هم ${\textstyle S_{2m}=\sum _{n=1}^{2m}(-1)^{n-1}a_{n}}$ با تعداد زوج جملات، به عدد یکسانی مانند L همگرا می‌شوند؛ بنابراین مجموع جزئی معمول ${\textstyle S_{k}=\sum _{n=1}^{k}(-1)^{n-1}a_{n}}$ نیز به L همگرا می‌شود.

مجموع‌های جزئی فرد به‌صورت یکنوا کاهش می‌یابند:

$$S_{2(m+1)+1}=S_{2m+1}-a_{2m+2}+a_{2m+3}\leq S_{2m+1}$$

در حالی که مجموع‌های جزئی زوج به‌صورت یکنوا افزایش می‌یابند:

$$S_{2(m+1)}=S_{2m}+a_{2m+1}-a_{2m+2}\geq S_{2m}$$

هر دو به این دلیل که a_n به‌صورت یکنوا با n کاهش می‌یابد.

علاوه بر این، از آنجا که a_nها مثبت هستند، $S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}\geq 0$. بنابراین می‌توانیم این حقایق را برای تشکیل نابرابری پیشنهادی زیر جمع‌آوری کنیم:

$$a_{1}-a_{2}=S_{2}\leq S_{2m}\leq S_{2m+1}\leq S_{1}=a_{1}.$$

اکنون، توجه کنید که a₁ − a₂ کران پایین دنبالهٔ به‌صورت یکنوا کاهشی S_2m+1 است؛ بنابراین قضیه همگرایی یکنوا دلالت بر این دارد که این دنباله با میل کردن m به بی‌نهایت، همگرا می‌شود. به‌طور مشابه، دنبالهٔ مجموع‌های جزئی زوج نیز همگرا می‌شود.

در نهایت، آن‌ها باید به عدد یکسانی همگرا شوند زیرا $\lim _{m\to \infty }(S_{2m+1}-S_{2m})=\lim _{m\to \infty }a_{2m+1}=0$.

حد را L می‌نامیم؛ در این صورت قضیه همگرایی یکنوا اطلاعات بیشتری به ما می‌دهد که

$$S_{2m}\leq L\leq S_{2m+1}$$

برای هر m. این بدان معناست که مجموع‌های جزئی یک سری متناوب نیز حول حد نهایی «نوسان» می‌کنند. به‌طور دقیق‌تر، وقتی تعداد جملات فرد (زوج) باشد، یعنی آخرین جمله مثبت (منفی) باشد، مجموع جزئی بالاتر (پایین‌تر) از حد نهایی قرار دارد.

این درک بلافاصله به کران خطای مجموع‌های جزئی منجر می‌شود که در زیر نشان داده‌شده است.

اثبات قضیه تخمین سری متناوب

ما می‌خواهیم با تقسیم به دو حالت نشان دهیم که $\left|S_{k}-L\right|\leq a_{k+1}\!$.

وقتی k = 2m+۱، یعنی فرد باشد، آنگاه

$$\left|S_{2m+1}-L\right|=S_{2m+1}-L\leq S_{2m+1}-S_{2m+2}=a_{(2m+1)+1}.$$

وقتی k = 2m، یعنی زوج باشد، آنگاه

$$\left|S_{2m}-L\right|=L-S_{2m}\leq S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}$$

همان‌طور که مطلوب بود.

هر دو حالت اساساً به آخرین نابرابری مشتق‌شده در اثبات قبلی متکی هستند.

کران‌های خطای جدیدتر

فیلیپ کالابرس (۱۹۶۲) و ریچارد جانسون‌باگ (۱۹۷۹) کران‌های دقیق‌تری یافته‌اند.

مثال‌ها

یک مثال نمونه

سری هارمونیک متناوب

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots$$

هر دو شرط آزمون سری متناوب را داراست و همگرا است.

نیاز به یکنوایی

برای اینکه نتیجه درست باشد، باید هر دو شرط آزمون برقرار باشند. برای نمونه، سری زیر را در نظر بگیرید:

$${\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}+{\frac {1}{{\sqrt {3}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {3}}+1}}+\cdots \ .$$

علامت‌ها متناوب هستند و جملات به سمت صفر میل می‌کنند. با این حال، شرط یکنوایی برقرار نیست و نمی‌توانیم از این آزمون استفاده کنیم. در واقع، این سری واگرا است. برای مجموع جزئی ${\textstyle S_{2n}}$ داریم ${\textstyle S_{2n}={\frac {2}{1}}+{\frac {2}{2}}+{\frac {2}{3}}+\cdots +{\frac {2}{n-1}}}$ که دو برابر مجموع جزئی سری هارمونیک است و واگرا می‌باشد؛ بنابراین سری اصلی واگرا است.

آزمون شرط کافی است، نه شرط لازم

یکنوایی در آزمون لایبنیتس یک شرط لازم نیست، بنابراین خود آزمون تنها یک شرط کافی است و نه لازم.

نمونه‌هایی از سری‌های غیریکنوا که همگرا هستند عبارتند از:

$$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+(-1)^{n}}}\quad {\text{و}}\quad \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\cos ^{2}n}{n^{2}}}\ .$$

در واقع، برای هر سری یکنوا می‌توان با جابه‌جایی جملات آن به گونه‌ای که شرایط قضیه اگنیو را برآورده کنند، بی‌نهایت سری غیریکنوا به دست آورد که به همان مجموع همگرا شوند.

جستارهای وابسته

• سری متناوب
• آزمون دیریکله

منابع

• Apostol, Tom M. (1967) [1961]. Calculus. Vol. 1 (2nd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00005-1.
• کنراد کنوپ (۱۹۵۶) دنباله‌ها و سری‌های نامتناهی، § ۳٫۴، انتشارات داور شابک ‎۰−۴۸۶−۶۰۱۵۳−۶
• کنراد کنوپ (۱۹۹۰) نظریه و کاربرد سری‌های نامتناهی، § ۱۵، انتشارات داور شابک ‎۰−۴۸۶−۶۶۱۶۵−۲
• Rudin, Walter (1976) [1953]. اصول آنالیز ریاضی (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X. OCLC 1502474.
• Spivak, Michael (2008) [1967]. Calculus (4th ed.). Houston, TX: Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-91-1.
• جیمز استوارت، دنیل کلگ، سلیم واتسون (۲۰۱۶) حسابان تک‌متغیره: توابع متعالی اولیه (ویرایش مدرس) 9E، سی‌انگیج شابک ‎۹۷۸−۰−۳۵۷−۰۲۲۲۸−۹
• ئی. تی. ویتیکر & جی. ان. واتسون (۱۹۶۳) دوره‌ای در آنالیز مدرن، ویرایش چهارم، §۲٫۳، انتشارات دانشگاه کمبریج شابک ‎۰−۵۲۱−۵۸۸۰۷−۳

الگو:گوتفریت لایبنیتس

الگو:سری (ریاضیات)