فرمول فا دی برونو

فرمول فا دی برونو (به انگلیسی: Faà di Bruno's formula) یک اتحاد در ریاضیات است که قاعده زنجیره‌ای را به مشتقات مراتب بالاتر تعمیم می‌دهد. این فرمول به نام فرانچسکو فاآ دی برونو نام‌گذاری‌شده است، اگرچه او نخستین کسی نبود که این فرمول را بیان یا اثبات کرد. در سال ۱۸۰۰، بیش از ۵۰ سال پیش از فاآ دی برونو، ریاضی‌دان فرانسوی لوئیس آربوگاست این فرمول را در یک کتاب درسی حسابان بیان کرده بود، که به عنوان نخستین منبع منتشرشده در این زمینه شناخته می‌شود.

شاید شناخته‌شده‌ترین شکل فرمول فاآ دی برونو بیان می‌کند که:

${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,1!^{m_{1}}\cdots m_{n}!\,n!^{m_{n}}}}\cdot {}$$f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot {}$$\prod _{j=1}^{n}\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_{j}}$,

که در آن مجموع بر روی تمام $n$-چندتایی‌های اعداد صحیح نامنفی $(m_{1},\ldots ,m_{n})$ است که در قید زیر صدق می‌کنند: $$1\cdot m_{1}+2\cdot m_{2}+\cdots +n\cdot m_{n}=n.$$ گاهی اوقات، برای ارائه یک الگوی به‌یادماندنی، این فرمول به گونه‌ای نوشته می‌شود که ضرایبی که دارای تفسیر ترکیبیاتی مورد بحث در زیر هستند، کمتر صریح باشند:

${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot {}$$f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot {}$$\prod _{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}$.

ترکیب جملات با مقدار یکسان $m_{1}+m_{2}+\cdots +m_{n}=k$ و توجه به اینکه $m_{j}$ باید برای $j>n-k+1$ صفر باشد، منجر به فرمول ساده‌تری می‌شود که بر حسب چندجمله‌ای‌های بل نمایی جزئی (یا ناکامل) $B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})$ بیان می‌شود:

${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=0}^{n}f^{(k)}(g(x))\cdot {}$$B_{n,k}{\bigl (}g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x){\bigr )}$.

این فرمول برای تمام $n\geq 0$ کار می‌کند، با این حال برای $n>0$ چندجمله‌ای‌های $B_{n,0}$ صفر هستند و بنابراین مجموع در فرمول می‌تواند با $k=1$ آغاز شود.

فرم ترکیبیاتی

این فرمول یک شکل «ترکیبیاتی» دارد::${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=(f\circ g)^{(n)}(x)=\sum _{\pi \in \Pi }f^{(\left|\pi \right|)}(g(x))\cdot \prod _{B\in \pi }g^{(\left|B\right|)}(x)$

که در آن:

• $\pi$ از میان مجموعه $\Pi$ از تمام افرازهای مجموعه $\{1,\ldots ,n\}$ می‌گذرد،
• «$B\in \pi$» به این معنی است که متغیر $B$ از میان فهرست تمام «بلوک‌های» افراز $\pi$ می‌گذرد، و
• $|A|$ نشان‌دهنده کاردینالیته مجموعه $A$ است (بنابراین $|\pi |$ تعداد بلوک‌ها در افراز $\pi$ و $|B|$ اندازه بلوک $B$ است).

مثال

در ادامه توضیح ملموسی از شکل ترکیبیاتی برای حالت $n=4$ آمده است.:${\begin{aligned}(f\circ g)''''(x)={}&f''''(g(x))g'(x)^{4}+6f'''(g(x))g''(x)g'(x)^{2}\\[8pt]&{}+\;3f''(g(x))g''(x)^{2}+4f''(g(x))g'''(x)g'(x)\\[8pt]&{}+\;f'(g(x))g''''(x).\end{aligned}}$

الگو به شرح زیر است::${\begin{array}{cccccc}g'(x)^{4}&&\leftrightarrow &&1+1+1+1&&\leftrightarrow &&f''''(g(x))&&\leftrightarrow &&1\\[12pt]g''(x)g'(x)^{2}&&\leftrightarrow &&2+1+1&&\leftrightarrow &&f'''(g(x))&&\leftrightarrow &&6\\[12pt]g''(x)^{2}&&\leftrightarrow &&2+2&&\leftrightarrow &&f''(g(x))&&\leftrightarrow &&3\\[12pt]g'''(x)g'(x)&&\leftrightarrow &&3+1&&\leftrightarrow &&f''(g(x))&&\leftrightarrow &&4\\[12pt]g''''(x)&&\leftrightarrow &&4&&\leftrightarrow &&f'(g(x))&&\leftrightarrow &&1\end{array}}$

عامل $g''(x)g'(x)^{2}$ به روشی بدیهی با افراز ۲ + 1 + ۱ از عدد ۴ مطابقت دارد. عامل $f'''(g(x))$ که با آن همراه است، با این واقعیت مطابقت دارد که «سه» جمله در آن افراز وجود دارد. ضریب ۶ که با آن عوامل همراه است، با این واقعیت مطابقت دارد که دقیقاً شش افراز از مجموعه‌ای با چهار عضو وجود دارد که آن را به یک بخش با اندازه ۲ و دو بخش با اندازه ۱ تقسیم می‌کند.

به همین ترتیب، عامل $g''(x)^{2}$ در سطر سوم با افراز ۲ + ۲ از عدد ۴ مطابقت دارد (4، زیرا ما در حال یافتن مشتق چهارم هستیم)، در حالی که $f''(g(x))$ با این واقعیت مطابقت دارد که «دو» جمله (2 + 2) در آن افراز وجود دارد. ضریب ۳ با این واقعیت مطابقت دارد که ${\tfrac {1}{2}}{\tbinom {4}{2}}=3$ راه برای افراز ۴ شیء به گروه‌های ۲تایی وجود دارد. همین مفهوم برای موارد دیگر نیز صدق می‌کند.

یک طرح به‌یادماندنی به شرح زیر است:: ${\begin{aligned}&{\frac {D^{1}(f\circ {}g)}{1!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(1)}}{1!}}{1!}}\\[8pt]&{\frac {D^{2}(f\circ g)}{2!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}}&{}+\left(f^{(2)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{2!}}\\[8pt]&{\frac {D^{3}(f\circ g)}{3!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(3)}}{3!}}{1!}}&{}+\left(f^{(2)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{1!}}{\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}}&{}+\left(f^{(3)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{3!}}\\[8pt]&{\frac {D^{4}(f\circ g)}{4!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(4)}}{4!}}{1!}}&{}+\left(f^{(2)}\circ {}g\right)\left({\frac {\frac {g^{(1)}}{1!}}{1!}}{\frac {\frac {g^{(3)}}{3!}}{1!}}+{\frac {{\frac {g^{(2)}}{2!}}{\frac {g^{(2)}}{2!}}}{2!}}\right)&{}+\left(f^{(3)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{2!}}{\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}}&{}+\left(f^{(4)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{4!}}\end{aligned}}$

تعمیم‌ها

نسخه چندمتغیره

فرض کنید $y=g(x_{1},\dots ,x_{n})$. در این صورت اتحاد زیر صرف‌نظر از اینکه آیا $n$ متغیر همگی متمایز هستند، یا همگی یکسان‌اند، یا به چندین کلاس قابل تشخیص از متغیرهای غیرقابل تشخیص افراز شده‌اند، برقرار است (اگر مبهم به نظر می‌رسد، مثال بسیار ملموس زیر را ببینید)::${\partial ^{n} \over \partial x_{1}\cdots \partial x_{n}}f(y)=\sum _{\pi \in \Pi }f^{(\left|\pi \right|)}(y)\cdot \prod _{B\in \pi }{\partial ^{\left|B\right|}y \over \prod _{j\in B}\partial x_{j}}$

که در آن (مانند بالا):

• $\pi$ از میان مجموعه $\Pi$ از تمام افرازهای مجموعه $\{1,\ldots ,n\}$ می‌گذرد،
• «$B\in \pi$» به این معنی است که متغیر $B$ از میان فهرست تمام «بلوک‌های» افراز $\pi$ می‌گذرد، و
• $|A|$ نشان‌دهنده کاردینالیته مجموعه $A$ است (بنابراین $|\pi |$ تعداد بلوک‌ها در افراز $\pi$ و $|B|$ اندازه بلوک $B$ است).

نسخه‌های کلی‌تری برای مواردی وجود دارد که تمام توابع برداری و حتی دارای مقدار در فضای باناخ هستند. در این حالت باید مشتق فریشه یا مشتق گاتو را در نظر گرفت.

مثال

پنج جمله در عبارت زیر به روشی بدیهی با پنج افراز مجموعه $\{1,2,3\}$ مطابقت دارند و در هر مورد، مرتبه مشتق $f$ برابر با تعداد بخش‌های افراز است::${\begin{aligned}{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}f(y)={}&f'(y){\partial ^{3}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\\[10pt]&{}+f''(y)\left({\partial y \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial y \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial y \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\right)\\[10pt]&{}+f'''(y){\partial y \over \partial x_{1}}\cdot {\partial y \over \partial x_{2}}\cdot {\partial y \over \partial x_{3}}.\end{aligned}}$

اگر سه متغیر از یکدیگر غیرقابل تشخیص باشند، آنگاه سه جمله از پنج جمله بالا نیز از یکدیگر غیرقابل تشخیص خواهند بود و در این صورت به فرمول کلاسیک یک‌متغیره می‌رسیم.

نسخه سری توانی صوری

فرض کنید $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}x^{n}$ و $g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n}}x^{n}$ سری توانی صوری باشند و $b_{0}=0$.

سپس ترکیب $f\circ g$ دوباره یک سری توانی صوری است،:$f(g(x))=\sum _{n=0}^{\infty }{c_{n}}x^{n},$ که در آن $c_{0}=a_{0}$ و سایر ضرایب $c_{n}$ برای $n\geq 1$ را می‌توان به صورت مجموع روی افرازهای $n$ یا به صورت مجموع معادل روی افراز عدد صحیح‌های $n$ بیان کرد::$c_{n}=\sum _{\mathbf {i} \in {\mathcal {C}}_{n}}a_{k}b_{i_{1}}b_{i_{2}}\cdots b_{i_{k}},$ که در آن:${\mathcal {C}}_{n}=\{(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k})\,:\ 1\leq k\leq n,\ i_{1}+i_{2}+\cdots +i_{k}=n\}$ مجموعه افرازهای $n$ است که در آن $k$ نشان‌دهنده تعداد بخش‌ها است،

یا:$c_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\sum _{\mathbf {\pi } \in {\mathcal {P}}_{n,k}}{\binom {k}{\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{n}}}b_{1}^{\pi _{1}}b_{2}^{\pi _{2}}\cdots b_{n}^{\pi _{n}},$ که در آن:${\mathcal {P}}_{n,k}=\{(\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{n})\,:\ \pi _{1}+\pi _{2}+\cdots +\pi _{n}=k,\ \pi _{1}\cdot 1+\pi _{2}\cdot 2+\cdots +\pi _{n}\cdot n=n\}$ مجموعه افرازهای $n$ به $k$ بخش، به فرم فراوانیِ بخش‌ها است.

شکل اول با انتخاب ضریب $x^{n}$ در $(b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots )^{k}$ «با مشاهده» به دست می‌آید و شکل دوم با جمع‌آوری جملات مشابه، یا به طور جایگزین، با اعمال قضیه چندجمله‌ای حاصل می‌شود.

حالت خاص $f(x)=e^{x}$، $g(x)=\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n!}}a_{n}x^{n}$، فرمول نمایی را به دست می‌دهد. حالت خاص $f(x)=1/(1-x)$، $g(x)=\sum _{n\geq 1}(-a_{n})x^{n}$ عبارتی برای وارون سری توانی صوری $\sum _{n\geq 0}a_{n}x^{n}$ در حالتی که $a_{0}=1$ باشد، ارائه می‌دهد.

استنلی نسخه‌ای برای سری‌های توانی نمایی ارائه می‌دهد. در سری توانی صوری:$f(x)=\sum _{n}{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n},$ ما مشتق $n$ام در ۰ را داریم::$f^{(n)}(0)=a_{n}.$

این نباید به عنوان مقدار یک تابع تفسیر شود، زیرا این سری‌ها صرفاً صوری هستند؛ در این زمینه چیزی به نام همگرایی یا واگرایی وجود ندارد.

اگر:$g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n!}}x^{n}$ و:$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n}$ و:$g(f(x))=h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{n!}}x^{n},$ آنگاه ضریب $c_{n}$ (که اگر با سری‌های همگرا به جای سری‌های توانی صوری سروکار داشتیم، مشتق $n$ام $h$ ارزیابی‌شده در ۰ می‌بود) توسط رابطه زیر داده می‌شود::$c_{n}=\sum _{\pi =\left\{B_{1},\ldots ,B_{k}\right\}}a_{\left|B_{1}\right|}\cdots a_{\left|B_{k}\right|}b_{k}$ که در آن $\pi$ از میان مجموعه تمام افرازهای مجموعه <tex>$\{1,\ldots,n\}$</tex> می‌گذرد و $B_{1},\ldots ,B_{k}$ بلوک‌های افراز $\pi$ هستند و $|B_{j}|$ تعداد اعضای $j$امین بلوک برای $j=1,\ldots ,k$ است.

این نسخه از فرمول به‌ویژه برای اهداف ترکیبیات مناسب است.

ما همچنین می‌توانیم با توجه به نمادگذاری بالا بنویسیم::$g(f(x))=b_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\ldots ,a_{n-k+1})}{n!}}x^{n},$ که در آن $B_{n,k}(a_{1},\ldots ,a_{n-k+1})$ چندجمله‌ای‌های بل هستند.

یک حالت خاص

اگر $f(x)=e^{x}$ باشد، آنگاه تمام مشتقات $f$ یکسان هستند و عاملی مشترک برای هر جمله می‌باشند::${d^{n} \over dx^{n}}e^{g(x)}=e^{g(x)}B_{n}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n)}(x)\right),$ که در آن $B_{n}(x)$، $n$امین چندجمله‌ای نمایی کامل بل است.

در صورتی که $g(x)$ یک تابع مولد انباشتک باشد، آنگاه $f(g(x))$ یک تابع مولد گشتاور است و چندجمله‌ای در مشتقات مختلف $g$، چندجمله‌ای است که گشتاورها را به عنوان توابعی از انباشتک‌ها بیان می‌کند.

جستارهای وابسته

• قاعده زنجیره‌ای – method of differentiating composed functionsیک توضیح ویکی‌داده به عنوان مقداری برگشتی نشان می‌دهند
• مشتق توابع مثلثاتی – mathematical process of finding the derivative of a trigonometric functionیک توضیح ویکی‌داده به عنوان مقداری برگشتی نشان می‌دهند
• قواعد دیفرانسیل‌گیری
• قاعده لایبنیتس
• توابع معکوس و مشتق‌گیری
• قضیه وارون لاگرانژ – فرمولی برای معکوس کردن یک بسط تیلور
• خطی بودن مشتق
• قاعده ضرب – formula for the derivative of a productیک توضیح ویکی‌داده به عنوان مقداری برگشتی نشان می‌دهند
• قواعد دیفرانسیل‌گیری
• اتحادهای حساب برداری

منابع

بررسی‌های تاریخی و جستارها

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «[it:Francesco Faà di Bruno. Ricerca scientifica insegnamento e divulgazione Francesco Faà di Bruno. Ricerca scientifica insegnamento e divulgazione]». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای ایتالیایی.
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «[en:American Mathematical Monthly Prehistory of Faà di Bruno's Formula]». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «[en:American Mathematical Monthly The Curious History of Faà di Bruno's Formula]». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

آثار پژوهشی

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «[fr:Du calcul des derivations Du calcul des derivations]». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای فرانسوی.
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «[it:Sullo sviluppo delle funzioni Sullo sviluppo delle funzioni]». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای ایتالیایی.
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «[fr:Note sur une nouvelle formule de calcul differentiel Note sur une nouvelle formule de calcul differentiel]». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای فرانسوی.
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «[fr:Théorie générale de l'élimination Théorie générale de l'élimination]». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای فرانسوی.
• فلندرز، هارلی (۲۰۰۱) «From Ford to Faa»، امریکن متمتیکال مانتلی ۱۰۸(۶): ۵۵۸–۶۱ doi:10.2307/2695713
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «[en:Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society Formulae for high derivatives of composite functions]». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «[en:A Primer of Real Analytic Functions A Primer of Real Analytic Functions]». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «[en:Geometric Differentiation Geometric Differentiation]». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «[fr:Sur la différentiation des fonctions de fonctions Sur la différentiation des fonctions de fonctions]». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای فرانسوی.
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «[fr:Sur la différentiation des fonctions de fonctions. Séries de Burmann, de Lagrange, de Wronski Sur la différentiation des fonctions de fonctions. Séries de Burmann, de Lagrange, de Wronski]». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای فرانسوی.

پیوند به بیرون

• Weisstein, Eric W. "فرمول فاآ دی برونو". MathWorld.

الگو:موضوعات فاکتوریل و دوجمله‌ای