نرخ های مرتبط

در حساب دیفرانسیل، مسائل نرخ‌های وابسته شامل یافتن نرخی است که یک کمیت با آن تغییر می‌کند، که این کار از طریق مرتبط کردن آن کمیت با سایر کمیت‌هایی که نرخ تغییراتشان معلوم است، انجام می‌شود. نرخ تغییرات معمولاً نسبت به زمان است. از آنجا که علوم و مهندسی اغلب کمیت‌ها را به یکدیگر مرتبط می‌کنند، روش‌های نرخ‌های وابسته کاربردهای گسترده‌ای در این حوزه‌ها دارند. دیفرانسیل‌گیری نسبت به زمان یا یکی دیگر از متغیرها نیازمند به‌کارگیری قاعده زنجیره‌ای است، زیرا بیشتر مسائل شامل چندین متغیر نسبت به متغیر ورودی هستند.

بنیاداً، اگر تابعی مانند $F$ به گونه‌ای تعریف شود که $F=f(x)$، آنگاه مشتق تابع $F$ را می‌توان نسبت به متغیر دیگری گرفت. فرض می‌کنیم $x$ تابعی از $t$ باشد، یعنی $x=g(t)$. در این صورت $F=f(g(t))$، بنابراین:: $F'(t)=f'(g(t))\cdot g'(t)$

این رابطه در نمادگذاری لایبنیتس به صورت زیر نوشته می‌شود:: ${\frac {dF}{dt}}={\frac {df}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}.$

بنابراین، اگر بدانیم $x$ چگونه نسبت به $t$ تغییر می‌کند، می‌توانیم تعیین کنیم که $F$ چگونه نسبت به $t$ تغییر می‌کند و بالعکس. ما می‌توانیم این کاربرد قاعده زنجیره‌ای را با قواعد جمع، تفریق، ضرب و خارج‌قسمت در حسابان و غیره گسترش دهیم.

برای مثال، اگر $F(x)=G(y)+H(z)$ باشد، آنگاه:: ${\frac {dF}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}={\frac {dG}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dt}}+{\frac {dH}{dz}}\cdot {\frac {dz}{dt}}.$

روش کار

رایج‌ترین راه برای برخورد با مسائل نرخ‌های وابسته به شرح زیر است:

1. متغیرهای معلوم، شامل نرخ‌های تغییرات و نرخ تغییری که باید یافت شود را شناسایی کنید. (رسم یک شکل یا نمایش تصویری از مسئله می‌تواند به منظم نگه داشتن همه چیز کمک کند).
2. یک معادله بسازید که کمیت‌هایی را که نرخ تغییراتشان معلوم است، به کمیتی که نرخ تغییر آن مورد نیاز است، مرتبط کند.
3. از هر دو طرف معادله نسبت به زمان (یا نرخ تغییر دیگر) مشتق بگیرید. اغلب در این مرحله از قاعده زنجیره‌ای استفاده می‌شود.
4. نرخ‌های تغییر معلوم و مقادیر معلوم را در معادله جایگذاری کنید.
5. برای نرخ تغییر مورد نظر، معادله را حل کنید.

خطاها در این روش اغلب ناشی از جایگذاری مقادیر معلوم برای متغیرها «قبل از» (به جای بعد از) گرفتن مشتق نسبت به زمان است. انجام این کار منجر به نتیجه نادرست می‌شود، زیرا اگر آن مقادیر قبل از دیفرانسیل‌گیری جایگذاری شوند، آن متغیرها به ثابت تبدیل می‌شوند؛ و هنگامی که از معادله مشتق گرفته می‌شود، به جای تمام متغیرهایی که مقادیرشان جایگذاری‌شده بود، صفر ظاهر می‌شود.

رویکرد «چهار گوشه» برای حل مسائل نرخ‌های وابسته. با دانستن رابطه بین موقعیت A و موقعیت B، مشتق بگیرید تا رابطه بین نرخ A و نرخ B را بیابید.

مثال

یک نردبان ۱۰ متری به دیوار ساختمانی تکیه داده‌شده است و پایه نردبان با نرخ ۳ متر بر ثانیه از دیوار دور می‌شود. وقتی پایه نردبان ۶ متر از دیوار فاصله دارد، بالای نردبان با چه سرعتی در امتداد دیوار به سمت پایین می‌لغزد؟

فاصله بین پایه نردبان و دیوار، x، و ارتفاع نردبان روی دیوار، y، اضلاع یک مثلث قائم‌الزاویه را تشکیل می‌دهند که نردبان، وتر آن یعنی h است. هدف یافتن dy/dt، یعنی نرخ تغییر y نسبت به زمان t است، در حالی که h، x و dx/dt (نرخ تغییر x) معلوم هستند.

گام ۱:

• $x=6$
• $h=10$
• ${\frac {dx}{dt}}=3$
• ${\frac {dh}{dt}}=0$
• ${\frac {dy}{dt}}={\text{?}}$

گام ۲: از قضیه فیثاغورس، معادله:$x^{2}+y^{2}=h^{2},$ رابطه بین x، y و h را برای یک مثلث قائم‌الزاویه توصیف می‌کند. دیفرانسیل‌گیری از هر دو طرف این معادله نسبت به زمان t، نتیجه می‌دهد::${\frac {d}{dt}}\left(x^{2}+y^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(h^{2}\right)$

گام ۳: حل معادله برای نرخ تغییر مورد نظر، یعنی dy/dt، به ما می‌دهد::${\frac {d}{dt}}\left(x^{2}\right)+{\frac {d}{dt}}\left(y^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(h^{2}\right)$:$(2x){\frac {dx}{dt}}+(2y){\frac {dy}{dt}}=(2h){\frac {dh}{dt}}$:$x{\frac {dx}{dt}}+y{\frac {dy}{dt}}=h{\frac {dh}{dt}}$:${\frac {dy}{dt}}={\frac {h{\frac {dh}{dt}}-x{\frac {dx}{dt}}}{y}}.$

گام ۴ و ۵: استفاده از متغیرهای گام ۱ به ما می‌دهد::${\frac {dy}{dt}}={\frac {h{\frac {dh}{dt}}-x{\frac {dx}{dt}}}{y}}.$:${\frac {dy}{dt}}={\frac {10\times 0-6\times 3}{y}}=-{\frac {18}{y}}.$ حل برای y با استفاده از قضیه فیثاغورس می‌دهد::$x^{2}+y^{2}=h^{2}$:$6^{2}+y^{2}=10^{2}$:$y=8$

جایگذاری ۸ در معادله::$-{\frac {18}{y}}=-{\frac {18}{8}}=-{\frac {9}{4}}$

به طور کلی فرض می‌شود که مقادیر منفی نشان‌دهنده جهت رو به پایین هستند. با این حساب، بالای نردبان با نرخ ۹/۴ متر بر ثانیه در امتداد دیوار به سمت پایین می‌لغزد.

مثال‌های فیزیک

از آنجا که یک کمیت فیزیکی اغلب به کمیت دیگری وابسته است که آن نیز به نوبه خود به متغیرهایی مانند زمان بستگی دارد، روش‌های نرخ‌های وابسته کاربردهای گسترده‌ای در فیزیک دارند. این بخش نمونه‌ای از نرخ‌های وابسته در سینماتیک و القای الکترومغناطیسی را ارائه می‌دهد.

سینماتیک نسبی دو وسیله نقلیه

یک وسیله نقلیه به سمت شمال در حرکت است و در حال حاضر در موقعیت (0,3) قرار دارد؛ وسیله نقلیه دیگر به سمت غرب در حرکت است و در حال حاضر در موقعیت (4,0) قرار دارد. می‌توان از قاعده زنجیره‌ای استفاده کرد تا فهمید آیا آن‌ها به هم نزدیک می‌شوند یا از هم دور می‌شوند.

برای مثال، می‌توان مسئله سینماتیکی را در نظر گرفت که در آن یک وسیله نقلیه با سرعت ۸۰ مایل بر ساعت به سمت غرب و به سوی یک تقاطع در حرکت است، در حالی که وسیله نقلیه دیگری با سرعت ۶۰ مایل بر ساعت به سمت شمال و دور از تقاطع در حرکت است. می‌توان پرسید که آیا این دو وسیله نقلیه در حال نزدیک شدن به یکدیگر هستند یا دور شدن، و در لحظه‌ای که وسیله نقلیه شمالی ۳ مایل از تقاطع فاصله دارد و وسیله نقلیه غربی ۴ مایل از تقاطع فاصله دارد، این نرخ چقدر است.

ایده اصلی: استفاده از قاعده زنجیره‌ای برای محاسبه نرخ تغییر فاصله بین دو وسیله نقلیه.

طرح:

1. انتخاب دستگاه مختصات
2. شناسایی متغیرها
3. رسم شکل
4. ایده اصلی: استفاده از قاعده زنجیره‌ای برای محاسبه نرخ تغییر فاصله بین دو وسیله نقلیه
5. بیان c برحسب x و y از طریق قضیه فیثاغورس
6. بیان dc/dt با استفاده از قاعده زنجیره‌ای برحسب dx/dt و dy/dt
7. جایگذاری x، y، dx/dt، dy/dt
8. ساده‌سازی.

انتخاب دستگاه مختصات: اجازه دهید محور y به سمت شمال و محور x به سمت شرق باشد.

شناسایی متغیرها: y(t) را فاصله وسیله نقلیه در حال حرکت به سمت شمال از مبدأ و x(t) را فاصله وسیله نقلیه در حال حرکت به سمت غرب از مبدأ تعریف کنید.

بیان c برحسب x و y از طریق قضیه فیثاغورس: : $c=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2}$

بیان dc/dt با استفاده از قاعده زنجیره‌ای برحسب dx/dt و dy/dt:

${\frac {dc}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2}$	اعمال عملگر مشتق بر کل تابع
$={\frac {1}{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-1/2}{\frac {d}{dt}}\left(x^{2}+y^{2}\right)$	ریشه دوم خارج تابع است؛ مجموع مربعات داخل تابع است
$={\frac {1}{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-1/2}\left[{\frac {d}{dt}}(x^{2})+{\frac {d}{dt}}(y^{2})\right]$	توزیع عملگر دیفرانسیل‌گیری
$={\frac {1}{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-1/2}\left[2x{\frac {dx}{dt}}+2y{\frac {dy}{dt}}\right]$	اعمال قاعده زنجیره‌ای بر x(t) و y(t)
$={\frac {x{\frac {dx}{dt}}+y{\frac {dy}{dt}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$	ساده‌سازی.

جایگذاری x = 4 mi، y = 3 mi، dx/dt = −80 mi/hr، dy/dt = 60 mi/hr و ساده‌سازی: ${\begin{aligned}{\frac {dc}{dt}}&={\frac {4{\text{ mi}}\cdot (-80{\text{ mi}}/{\text{hr}})+3{\text{ mi}}\cdot (60){\text{mi}}/{\text{hr}}}{\sqrt {(4{\text{ mi}})^{2}+(3{\text{ mi}})^{2}}}}\\&={\frac {-320{\text{ mi}}^{2}/{\text{hr}}+180{\text{ mi}}^{2}/{\text{hr}}}{5{\text{ mi}}}}\\&={\frac {-140{\text{ mi}}^{2}/{\text{hr}}}{5{\text{ mi}}}}\\&=-28{\text{ mi}}/{\text{hr}}\end{aligned}}$

در نتیجه، دو وسیله نقلیه با نرخ ۲۸ مایل بر ساعت به یکدیگر نزدیک می‌شوند.

القای الکترومغناطیسی حلقه رسانا در حال چرخش در میدان مغناطیسی

شار مغناطیسی عبوری از یک حلقه به مساحت A که بردار نرمال آن با میدان مغناطیسی به قدرت B زاویه θ می‌سازد، برابر است با:: $\Phi _{B}=BA\cos(\theta ),$

قانون فارادی در القای الکترومغناطیسی بیان می‌کند که نیروی محرکه الکتریکی القایی ${\mathcal {E}}$ برابر با منفی نرخ تغییر شار مغناطیسی $\Phi _{B}$ از طریق یک حلقه رسانا است.: ${\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}},$

اگر مساحت حلقه A و میدان مغناطیسی B ثابت نگه‌داشته شوند، اما حلقه طوری چرخانده شود که زاویه θ تابعی معلوم از زمان باشد، نرخ تغییر θ را می‌توان با گرفتن مشتق زمانی از رابطه شار، به نرخ تغییر $\Phi _{B}$ (و در نتیجه نیروی محرکه الکتریکی) مرتبط کرد:: ${\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}=BA\sin \theta {\frac {d\theta }{dt}}$

اگر برای مثال، حلقه با سرعت زاویه‌ای ثابت ω در حال چرخش باشد، به طوری که θ = ωt، آنگاه:: ${\mathcal {E}}=\omega BA\sin \omega t$

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «[en:Related rates Related rates]». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.