دیفرانسیل یک تابع

در حسابان، دیفرانسیل نشان‌دهنده بخش اصلی تغییر در یک تابع $y=f(x)$ نسبت به تغییرات در متغیر مستقل است. دیفرانسیل $dy$ به صورت زیر تعریف می‌شود: $$dy=f'(x)\,dx,$$ که در آن $f'(x)$ مشتق f نسبت به $x$ است و $dx$ یک متغیر حقیقی اضافی است (به‌طوری که $dy$ تابعی از $x$ و $dx$ باشد). نمادگذاری به‌گونه‌ای است که معادله

$$dy={\frac {dy}{dx}}\,dx$$

برقرار است، که در آن مشتق با نمادگذاری لایبنیتس $dy/dx$ نمایش داده می‌شود و این با در نظر گرفتن مشتق به عنوان خارج‌قسمت دیفرانسیل‌ها سازگار است. همچنین می‌توان نوشت:

$$df(x)=f'(x)\,dx.$$

معنای دقیق متغیرهای $dy$ و $dx$ به زمینه کاربرد و سطح دقت ریاضی مورد نیاز بستگی دارد. دامنه این متغیرها اگر دیفرانسیل به عنوان یک فرم دیفرانسیل خاص در نظر گرفته شود، ممکن است اهمیت هندسی ویژه‌ای پیدا کند، یا اگر دیفرانسیل به عنوان یک تقریب خطی برای افزایش یک تابع در نظر گرفته شود، اهمیت تحلیلی یابد. به‌طور سنتی، متغیرهای $dx$ و $dy$ بسیار کوچک (بی‌نهایت‌کوچک) در نظر گرفته می‌شوند و این تفسیر در آنالیز غیراستاندارد به صورت دقیق بیان می‌شود.

تاریخچه و کاربرد

دیفرانسیل برای نخستین بار از طریق تعریفی شهودی یا اکتشافی توسط آیزاک نیوتن معرفی شد و توسط گوتفریت لایبنیتس گسترش یافت؛ او دیفرانسیل dy را به عنوان تغییری بی‌نهایت کوچک (یا بی‌نهایت‌کوچک) در مقدار y تابع، متناظر با تغییری بی‌نهایت کوچک dx در آرگومان تابع x در نظر می‌گرفت. به همین دلیل، نرخ تغییر آنی y نسبت به x، که مقدار مشتق تابع است، با کسر

$${\frac {dy}{dx}}$$ در آنچه نمادگذاری لایبنیتس برای مشتق‌ها نامیده می‌شود، نمایش می‌یابد. خارج‌قسمت $dy/dx$ بی‌نهایت کوچک نیست؛ بلکه یک عدد حقیقی است.

استفاده از بی‌نهایت‌کوچک‌ها به این شکل به‌طور گسترده مورد انتقاد قرار گرفت، برای نمونه در جزوه مشهور آنالیست اثر اسقف برکلی. آگوستین لویی کوشی (۱۸۲۳) دیفرانسیل را بدون توسل به اتمیسم بی‌نهایت‌کوچک‌های لایبنیتس تعریف کرد. در عوض، کوشی با پیروی از ژان لو رون دالامبر، ترتیب منطقی لایبنیتس و جانشینانش را معکوس کرد: خودِ مشتق به شیء بنیادی تبدیل شد که به عنوان حد خارج‌قسمت‌های تفاضلی تعریف می‌شد و دیفرانسیل‌ها سپس بر حسب آن تعریف شدند؛ یعنی فرد آزاد بود که دیفرانسیل $dy$ را با عبارتی تعریف کند: $$dy=f'(x)\,dx$$ که در آن $dy$ و $dx$ صرفاً متغیرهای جدیدی هستند که مقادیر حقیقی متناهی می‌گیرند، نه بی‌نهایت‌کوچک‌های ثابتی که برای لایبنیتس بودند.

به گفته (Boyer 1959، ص. ۱۲)، رویکرد کوشی یک بهبود منطقی قابل‌توجه نسبت به رویکرد بی‌نهایت‌کوچک لایبنیتس بود، زیرا به‌جای استناد به مفهوم متافیزیکی بی‌نهایت‌کوچک‌ها، مقادیر $dy$ و $dx$ اکنون می‌توانستند دقیقاً به همان شیوه‌ای که سایر مقادیر حقیقی دستکاری می‌شوند، به شکلی معنادار مورد استفاده قرار گیرند. رویکرد مفهومی کلی کوشی به دیفرانسیل‌ها همچنان رویکرد استاندارد در درمان‌های تحلیلی مدرن باقی مانده است، اگرچه سخن نهایی در مورد دقت، یعنی مفهوم کاملاً مدرن حد، در نهایت مدیون کارل وایرشتراس است.

در درمان‌های فیزیکی، مانند آنچه در نظریه ترمودینامیک به کار می‌رود، دیدگاه بی‌نهایت‌کوچک همچنان غالب است. (Courant و John 1999، ص. ۱۸۴) استفاده فیزیکی از دیفرانسیل‌های بی‌نهایت‌کوچک را با غیرممکن بودن ریاضی آن‌ها به شرح زیر آشتی می‌دهند: دیفرانسیل‌ها نشان‌دهنده مقادیر متناهی غیرصفر هستند که از درجه دقت مورد نیاز برای هدف خاصی که برای آن در نظر گرفته شده‌اند، کوچک‌ترند؛ بنابراین «بی‌نهایت‌کوچک‌های فیزیکی» برای داشتن معنای دقیق، نیازی به توسل به یک بی‌نهایت‌کوچک ریاضی متناظر ندارند.

به دنبال پیشرفت‌های قرن بیستم در آنالیز ریاضی و هندسه دیفرانسیل، مشخص شد که مفهوم دیفرانسیل یک تابع می‌تواند به روش‌های گوناگونی گسترش یابد. در آنالیز حقیقی، مطلوب‌تر است که مستقیماً با دیفرانسیل به عنوان بخش اصلی افزایش یک تابع برخورد شود. این امر مستقیماً به این مفهوم منجر می‌شود که دیفرانسیل یک تابع در یک نقطه، یک حالت خطی از یک افزایش $\Delta x$ است. این رویکرد اجازه می‌دهد تا دیفرانسیل (به عنوان یک نگاشت خطی) برای فضاهای پیچیده‌تر توسعه یابد و در نهایت به مفاهیمی مانند مشتق فرشه یا مشتق گاتو منجر شود. به همین ترتیب، در هندسه دیفرانسیل، دیفرانسیل یک تابع در یک نقطه، یک تابع خطی از یک بردار مماس («جابه‌جایی بی‌نهایت کوچک») است که آن را به عنوان نوعی فرم دیفرانسیل (یک-فرم) نشان می‌دهد: دیفرانسیل خارجی تابع. در حسابان غیراستاندارد، دیفرانسیل‌ها به عنوان بی‌نهایت‌کوچک‌ها در نظر گرفته می‌شوند که خود می‌توانند بر پایه‌ای دقیق قرار گیرند (نک: دیفرانسیل (بی‌نهایت‌کوچک)).

تعریف

دیفرانسیل یک تابع $f(x)$ در نقطه $x_{0}$.

دیفرانسیل در درمان‌های مدرن حساب دیفرانسیل به صورت زیر تعریف می‌شود. دیفرانسیل یک تابع $f(x)$ از یک متغیر حقیقی واحد $x$، تابع $df$ از دو متغیر حقیقی مستقل $x$ و $\Delta x$ است که به صورت زیر داده می‌شود:

$$df(x,\Delta x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ f'(x)\,\Delta x.$$

ممکن است یک یا هر دو آرگومان حذف شوند، یعنی ممکن است $df(x)$ یا صرفاً $df$ دیده شود. اگر $y=f(x)$ باشد، دیفرانسیل را می‌توان به صورت $dy$ نیز نوشت. از آنجا که $dx(x,\Delta x)=\Delta x$، مرسوم است که بنویسیم $dx=\Delta x$ به‌طوری که تساوی زیر برقرار باشد:

$$df(x)=f'(x)\,dx$$

این مفهوم دیفرانسیل زمانی که یک تقریب خطی برای یک تابع مورد نیاز باشد، به‌طور گسترده قابل استفاده است، که در آن مقدار افزایش $\Delta x$ به اندازه کافی کوچک باشد. دقیق‌تر اینکه، اگر $f$ یک تابع مشتق‌پذیر در $x$ باشد، آنگاه تفاوت در مقادیر $y$

$$\Delta y\ {\stackrel {\rm {def}}{=}}\ f(x+\Delta x)-f(x)$$

در رابطه زیر صدق می‌کند:

$$\Delta y=f'(x)\,\Delta x+\varepsilon =df(x)+\varepsilon \,$$

که در آن خطای $\varepsilon$ در تقریب، با $\Delta x\rightarrow 0$، در شرط $\varepsilon /\Delta x\rightarrow 0$ صدق می‌کند. به عبارت دیگر، فرد هویت تقریبی زیر را دارد:

$$\Delta y\approx dy$$

که در آن خطا را می‌توان با محدود کردن $\Delta x$ به مقادیر به اندازه کافی کوچک، نسبت به $\Delta x$ به هر اندازه که مطلوب باشد کوچک کرد؛ به این معنا که: $${\frac {\Delta y-dy}{\Delta x}}\to 0$$ با $\Delta x\rightarrow 0$. به همین دلیل، دیفرانسیل یک تابع به عنوان بخش اصلی (خطی) در افزایش یک تابع شناخته می‌شود: دیفرانسیل یک حالت خطی از افزایش $\Delta x$ است و اگرچه خطای $\varepsilon$ ممکن است غیرخطی باشد، اما با میل کردن $\Delta x$ به صفر، به‌سرعت به سمت صفر می‌گراید.

دیفرانسیل‌ها در چندین متغیر

! عملگر / تابع!$f(x)$!$f(x,y,u(x,y),v(x,y))$

دیفرانسیل	1: $df\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}\,dx$	2: $d_{x}f\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}\,dx$ ۳: $df\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}dx+f'_{y}dy+f'_{u}du+f'_{v}dv$
مشتق جزئی	$f'_{x}\,{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}\,{\frac {df}{dx}}$	$f'_{x}\,{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}\,{\frac {d_{x}f}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}$
مشتق کل	${\frac {df}{dx}}\,{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}\,f'_{x}$	${\frac {df}{dx}}\,{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}\,f'_{x}+f'_{u}{\frac {du}{dx}}+f'_{v}{\frac {dv}{dx}};(f'_{y}{\frac {dy}{dx}}=0)$

به پیروی از (Goursat 1904، I, §۱۵)، برای توابع دارای بیش از یک متغیر مستقل،

$$y=f(x_{1},\dots ,x_{n}),$$

دیفرانسیل جزئی y نسبت به هر یک از متغیرهای x_i، بخش اصلی تغییر در y است که از تغییر dx_i در آن متغیر واحد ناشی می‌شود؛ بنابراین دیفرانسیل جزئی عبارت است از

$${\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}dx_{i}$$

که شامل مشتق جزئی y نسبت به x_i است. مجموع دیفرانسیل‌های جزئی نسبت به تمام متغیرهای مستقل، دیفرانسیل کل نامیده می‌شود

$$dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n},$$

که بخش اصلی تغییر در y ناشی از تغییرات در متغیرهای مستقل x_i است.

به‌طور دقیق‌تر، در زمینه حساب چندمتغیره، به پیروی از (Courant 1937b)، اگر f یک تابع مشتق‌پذیر باشد، آنگاه طبق تعریف مشتق‌پذیری، افزایش

$${\begin{aligned}\Delta y&{}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~f(x_{1}+\Delta x_{1},\dots ,x_{n}+\Delta x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{n})\\&{}={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}+\varepsilon _{1}\Delta x_{1}+\cdots +\varepsilon _{n}\Delta x_{n}\end{aligned}}$$

که در آن جملات خطا ε _i با میل کردن همزمان افزایش‌ها Δx_i به صفر، به سمت صفر میل می‌کنند. دیفرانسیل کل در این حالت به‌صورت دقیق چنین تعریف می‌شود:

$$dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}.$$

از آنجا که با این تعریف، $$dx_{i}(\Delta x_{1},\dots ,\Delta x_{n})=\Delta x_{i},$$ خواهیم داشت $$dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}.$$

همانند حالت یک متغیره، هم‌ارزی تقریبی زیر برقرار است

$$dy\approx \Delta y$$

که در آن خطای کل را می‌توان با محدود کردن توجه به افزایش‌های به‌اندازه کافی کوچک، نسبت به ${\textstyle {\sqrt {\Delta x_{1}^{2}+\cdots +\Delta x_{n}^{2}}}}$ به هر میزان دلخواه کوچک کرد.

کاربرد دیفرانسیل کل در تخمین خطا

در اندازه‌گیری، از دیفرانسیل کل برای تخمین خطای $\Delta f$ یک تابع $f$ بر اساس خطاهای $\Delta x,\Delta y,\ldots$ در پارامترهای $x,y,\ldots$ استفاده می‌شود. با فرض اینکه بازه به‌اندازه کافی کوچک باشد که تغییرات تقریباً خطی باشند:

$$\Delta f(x)=f'(x)\Delta x$$

و با فرض اینکه پارامترهای $x,y,\ldots$ به‌صورت کارکردی مستقل باشند، به‌طوری که دیفرانسیل کل قابل اعمال باشد، تغییر در $f$ ناشی از تغییرات همزمان در تمام پارامترها عبارت است از

$$\Delta f\approx f_{x}\Delta x+f_{y}\Delta y+\cdots .$$

مشتق $f_{x}$ نسبت به پارامتر $x$، حساسیت تابع $f$ به تغییر در $x$، به‌ویژه به خطای $\Delta x$ را نشان می‌دهد. اینکه چگونه خطاهای فردی $\Delta x,\Delta y,\ldots$ با هم ترکیب می‌شوند تا کرانی برای $\Delta f$ ایجاد کنند، به دانش ما از آن‌ها بستگی دارد.

اگر خطاها تنها به‌عنوان کران‌هایی بر بزرگی (یعنی $|\Delta x|\leq \delta x$ و غیره) شناخته‌شده باشند و بتوانند علامت‌های دلخواهی‌داشته باشند، کران بدترین حالت برای $\Delta f$ با استفاده از مقادیر مطلق به‌دست می‌آید، زیرا در غیر این صورت مشارکت‌های علامت‌دار ممکن است یکدیگر را خنثی کنند:

$$|\Delta f|\leq |f_{x}|\,\delta x+|f_{y}|\,\delta y+\cdots .$$

اگر خطاها به‌صورت متغیرهای تصادفی از نظر آماری مستقل با انحراف معیارهای $\sigma _{x},\sigma _{y},\ldots$ مدل‌سازی شوند، آنگاه طبق انتشار واریانس، انحراف معیار $\Delta f$ به‌صورت تربیع جمع می‌شود:

$$\sigma _{f}^{2}=f_{x}^{2}\,\sigma _{x}^{2}+f_{y}^{2}\,\sigma _{y}^{2}+\cdots .$$

فرمول اول یک کران بالای قطعی و فرمول دوم یک تخمین معمول (یک انحراف معیار) است؛ این دو تنها در حالت بدیهی تک‌متغیره برهم منطبق می‌شوند.

از اصل بدترین حالت، قواعد خطای آشنای جمع، ضرب و غیره مشتق می‌شوند، برای مثال:

فرض کنید $f(a,b)=ab$. در این صورت خطای متناهی را می‌توان چنین تقریب زد:

$$\Delta f=f_{a}\Delta a+f_{b}\Delta b.$$ با محاسبه مشتقات: $$\Delta f=b\Delta a+a\Delta b.$$ با تقسیم بر f، که برابر با a × b است:

$${\frac {\Delta f}{f}}={\frac {\Delta a}{a}}+{\frac {\Delta b}{b}}.$$

به عبارت دیگر، در ضرب، خطای تقریبی کل برابر با مجموع خطاهای تقریبی پارامترهاست.

برای نشان دادن اینکه این موضوع چگونه به تابع مورد نظر بستگی دارد، حالتی را در نظر بگیرید که تابع به‌صورت $f(a,b)=a\ln b$ باشد. در این صورت، می‌توان محاسبه کرد که تخمین خطا برابر است با $${\frac {\Delta f}{f}}={\frac {\Delta a}{a}}+{\frac {\Delta b}{b\ln b}}$$ با یک عامل اضافی ln b که در حالت ضرب ساده وجود ندارد. این عامل اضافی تمایل دارد خطا را کوچک‌تر کند، زیرا مخرج b ln b بزرگ‌تر از یک b ساده است.

دیفرانسیل‌های مرتبه بالاتر

دیفرانسیل‌های مرتبه بالاتر یک تابع y = f(x) از یک متغیر واحد x را می‌توان از طریق زیر تعریف کرد: $$d^{2}y=d(dy)=d(f'(x)dx)=(df'(x))dx=f''(x)\,(dx)^{2},$$ و به‌طور کلی، $$d^{n}y=f^{(n)}(x)\,(dx)^{n}.$$ به‌طور غیررسمی، این موضوع نماد لایبنیتس برای مشتقات مرتبه بالاتر را توجیه می‌کند: $$f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}.$$ هنگامی که متغیر مستقل x خود اجازه‌داشته باشد به متغیرهای دیگر وابسته باشد، عبارت پیچیده‌تر می‌شود، زیرا باید دیفرانسیل‌های مرتبه بالاتر در خود x را نیز شامل شود؛ بنابراین، برای نمونه: $${\begin{aligned}d^{2}y&=f''(x)\,(dx)^{2}+f'(x)d^{2}x\\[1ex]d^{3}y&=f'''(x)\,(dx)^{3}+3f''(x)dx\,d^{2}x+f'(x)d^{3}x\end{aligned}}$$ و به همین ترتیب.

ملاحظات مشابهی برای تعریف دیفرانسیل‌های مرتبه بالاتر توابع چندین متغیر اعمال می‌شود. برای مثال، اگر f تابعی از دو متغیر x و y باشد، آنگاه $$d^{n}f=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\partial ^{n}f}{\partial x^{k}\partial y^{n-k}}}(dx)^{k}(dy)^{n-k},$$ که در آن ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$ یک ضریب دوجمله‌ای است. در متغیرهای بیشتر، عبارت مشابهی برقرار است، اما با یک بسط چندجمله‌ای مناسب به‌جای بسط دوجمله‌ای.

دیفرانسیل‌های مرتبه بالاتر در چندین متغیر نیز هنگامی که متغیرهای مستقل خود اجازه‌داشته باشند به متغیرهای دیگر وابسته باشند، پیچیده‌تر می‌شوند. برای نمونه، برای یک تابع f از x و y که اجازه دارند به متغیرهای کمکی وابسته باشند، داریم: $$d^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(dx)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dx\,dy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(dy)^{2}\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}d^{2}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}d^{2}y.$$

به دلیل این دشواری نمادین، استفاده از دیفرانسیل‌های مرتبه بالاتر توسط (Hadamard 1935) به‌شدت مورد انتقاد قرار گرفت و او چنین نتیجه‌گیری کرد:

Enfin, que signifie ou que représente l'égalité

$$d^{2}z=r\,dx^{2}+2s\,dx\,dy+t\,dy^{2}\,?$$

A mon avis, rien du tout.

یعنی: «سرانجام، منظور یا مفهوم تساوی [...] چیست؟ به عقیده من، هیچ.» با وجود این بدبینی، دیفرانسیل‌های مراتب بالاتر به عنوان ابزاری مهم در آنالیز پدیدار شدند.

در این زمینه‌ها، دیفرانسیل مرتبه n تابع f که بر افزایش Δx اعمال می‌شود، به صورت زیر تعریف می‌شود: $$d^{n}f(x,\Delta x)=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(x+t\Delta x)\right|_{t=0}$$ یا یک عبارت معادل، مانند $$\lim _{t\to 0}{\frac {\Delta _{t\Delta x}^{n}f}{t^{n}}}$$ که در آن $\Delta _{t\Delta x}^{n}f$ یک تفاضل محدود مرتبه nام با افزایش tΔx است.

این تعریف در صورتی که f تابعی از چندین متغیر باشد (برای سادگی در اینجا به عنوان یک آرگومان برداری در نظر گرفته شده) نیز معنادار است. در این صورت، دیفرانسیل مرتبه n که به این روش تعریف‌شده، یک تابع همگن از درجه n در افزایش برداری Δx است. علاوه بر این، بسط تیلور تابع f در نقطه x به صورت زیر داده می‌شود: $$f(x+\Delta x)\sim f(x)+df(x,\Delta x)+{\frac {1}{2}}d^{2}f(x,\Delta x)+\cdots +{\frac {1}{n!}}d^{n}f(x,\Delta x)+\cdots$$ مشتق گاتو از مرتبه بالاتر، این ملاحظات را به فضاهای بی‌نهایت‌بعدی تعمیم می‌دهد.

ویژگی‌ها

تعدادی از ویژگی‌های دیفرانسیل به سادگی از ویژگی‌های متناظر مشتق، مشتق جزئی و مشتق کل پیروی می‌کنند. این ویژگی‌ها عبارتند از:

• خطسانی: برای ثابت‌های a و b و توابع مشتق‌پذیر f و g, $$d(af+bg)=a\,df+b\,dg.$$
• قاعده ضرب: برای دو تابع مشتق‌پذیر f و g, $$d(fg)=f\,dg+g\,df.$$

عملیاتی مانند d با این دو ویژگی، در جبر مجرد به عنوان یک مشتق شناخته می‌شود. این ویژگی‌ها قاعده توان را نتیجه می‌دهند: $$d(f^{n})=nf^{n-1}df$$ علاوه بر این، اشکال مختلفی از قاعده زنجیره‌ای با سطوح فزاینده‌ای از کلیت برقرار هستند:

• اگر y = f(u) تابعی مشتق‌پذیر از متغیر u و u = g(x) تابعی مشتق‌پذیر از x باشد، آنگاه $$dy=f'(u)\,du=f'(g(x))g'(x)\,dx.$$
• اگر y = f(x₁, … , x_n) باشد و تمام متغیرهای x₁, … , x_n به متغیر دیگری مانند t وابسته باشند، آنگاه طبق قاعده زنجیره‌ای برای مشتقات جزئی، داریم: $${\begin{aligned}dy={\frac {dy}{dt}}dt&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n}\\[1ex]&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}\,dt+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}\,dt.\end{aligned}}$$ به‌طور شهودی، قاعده زنجیره‌ای برای چندین متغیر را می‌توان با تقسیم طرفین این معادله بر مقدار بی‌نهایت‌کوچک dt درک کرد.
• عبارات مشابه کلی‌تری نیز برقرار هستند که در آن‌ها متغیرهای میانی x_i به بیش از یک متغیر وابسته باشند.

فرمول‌بندی کلی

یک مفهوم سازگار از دیفرانسیل را می‌توان برای تابع f: Rⁿ → R^m بین دو فضای اقلیدسی توسعه داد. فرض کنید x,Δx ∈ Rⁿ جفتی از بردارهای اقلیدسی باشند. افزایش در تابع f برابر است با: $$\Delta f=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )-f(\mathbf {x} ).$$ اگر ماتریس A از مرتبه m × n وجودداشته باشد به طوری که $$\Delta f=A\Delta \mathbf {x} +\|\Delta \mathbf {x} \|{\boldsymbol {\varepsilon }}$$ که در آن بردار ε → ۰ با میل کردن Δx → ۰، آنگاه f بنا به تعریف در نقطه x مشتق‌پذیر است. ماتریس A گاهی به عنوان ماتریس ژاکوبی شناخته می‌شود و نگاشت خطی که افزایش Δx ∈ Rⁿ را به بردار AΔx ∈ R^m مرتبط می‌کند، در این چارچوب کلی، دیفرانسیل df(x) تابع f در نقطه x نامیده می‌شود. این دقیقاً همان مشتق فرشه است و همین ساختار را می‌توان برای تابعی بین هر فضای باناخ به کار برد.

دیدگاه ثمربخش دیگر، تعریف مستقیم دیفرانسیل به عنوان نوعی مشتق جهت‌دار است: $$df(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )-f(\mathbf {x} )}{t}}=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\right|_{t=0},$$ که رویکردی است که قبلاً برای تعریف دیفرانسیل‌های مراتب بالاتر اتخاذشده (و نزدیک‌ترین تعریف به آن چیزی است که کوشی ارائه داد). اگر t نشان‌دهنده زمان و x نشان‌دهنده مکان باشد، آنگاه h نشان‌دهنده یک سرعت است، نه جابه‌جایی که تا به حال در نظر می‌گرفتیم. این امر پالایش دیگری از مفهوم دیفرانسیل را به دست می‌دهد: اینکه دیفرانسیل باید یک تابع خطی از سرعت سینماتیکی باشد. مجموعه تمام سرعت‌ها از طریق یک نقطه از فضا به عنوان فضای مماس شناخته می‌شود، بنابراین df یک تابع خطی روی فضای مماس می‌دهد: یک فرم دیفرانسیل. با این تفسیر، دیفرانسیل f به عنوان مشتق خارجی شناخته می‌شود و کاربرد گسترده‌ای در هندسه دیفرانسیل دارد، زیرا مفهوم سرعت‌ها و فضای مماس بر روی هر منیفلد دیفرانسیل‌پذیر معنادار است. اگر علاوه بر این، مقدار خروجی f نیز نشان‌دهنده یک مکان (در یک فضای اقلیدسی) باشد، آنگاه تحلیل ابعادی تأیید می‌کند که مقدار خروجی df باید یک سرعت باشد. اگر دیفرانسیل را به این شیوه در نظر بگیریم، به آن پوش‌رو گفته می‌شود، زیرا سرعت‌ها را از یک فضای مبدأ به سرعت‌هایی در یک فضای مقصد «هل می‌دهد».

رویکردهای دیگر

مقالهٔ اصلی: دیفرانسیل (ریاضیات)

اگرچه مفهوم داشتن یک افزایش بی‌نهایت‌کوچک dx در آنالیز ریاضی مدرن به خوبی تعریف نشده است، اما تکنیک‌های متنوعی برای تعریف دیفرانسیل بی‌نهایت‌کوچک وجود دارد تا بتوان دیفرانسیل یک تابع را به گونه‌ای مدیریت کرد که با نمادگذاری لایبنیتس در تضاد نباشد. این رویکردها عبارتند از:

• تعریف دیفرانسیل به عنوان نوعی فرم دیفرانسیل، به‌ویژه مشتق خارجی یک تابع. افزایش‌های بی‌نهایت‌کوچک سپس با بردارها در فضای مماس در یک نقطه شناسایی می‌شوند. این رویکرد در هندسه دیفرانسیل و زمینه‌های مرتبط محبوب است، زیرا به راحتی به نگاشت‌ها بین منیفلد دیفرانسیل‌پذیر تعمیم می‌یابد.
• دیفرانسیل‌ها به عنوان عناصر نیل‌پوتنت از حلقه‌های جابه‌جایی. این رویکرد در هندسه جبری محبوب است.
• دیفرانسیل‌ها در مدل‌های هموار نظریه مجموعه‌ها. این رویکرد به عنوان هندسه دیفرانسیل ترکیبی یا آنالیز بی‌نهایت‌کوچک هموار شناخته می‌شود و ارتباط نزدیکی با رویکرد هندسه جبری دارد، با این تفاوت که از ایده‌های نظریه تاپوس برای «پنهان کردن» مکانیسم‌هایی که در آن بی‌نهایت‌کوچک‌های نیل‌پوتنت معرفی می‌شوند، استفاده می‌شود.
• دیفرانسیل‌ها به عنوان بی‌نهایت‌کوچک‌ها در سیستم‌های عدد ابرحقیقی، که گسترش‌هایی از اعداد حقیقی هستند و شامل بی‌نهایت‌کوچک‌های معکوس‌پذیر و اعداد بی‌نهایت بزرگ می‌باشند. این رویکرد آنالیز غیراستاندارد است که توسط آبراهام رابینسون پایه‌گذاری شد.

مثال‌ها و کاربردها

دیفرانسیل‌ها ممکن است به‌طور مؤثر در آنالیز عددی برای مطالعه انتشار خطاهای آزمایشگاهی در یک محاسبه و در نتیجه پایداری عددی کلی یک مسئله مورد استفاده قرار گیرند (Courant 1937a). فرض کنید متغیر x نشان‌دهنده نتیجه یک آزمایش و y نتیجه یک محاسبه عددی اعمال‌شده بر x باشد. پرسش این است که خطاهای اندازه‌گیری x تا چه حد بر نتیجه محاسبه y تأثیر می‌گذارند. اگر x تا حد Δx از مقدار واقعی خود شناخته‌شده باشد، آنگاه قضیه تیلور تخمین زیر را برای خطای Δy در محاسبه y می‌دهد: $$\Delta y=f'(x)\Delta x+{\frac {(\Delta x)^{2}}{2}}f''(\xi )$$ که در آن ξ = x + θΔx برای مقداری از 0 < θ < ۱. اگر Δx کوچک باشد، آنگاه جمله مرتبه دوم ناچیز است، به طوری که Δy برای اهداف عملی، به خوبی توسط dy = f'(x) Δx تقریب زده می‌شود.

دیفرانسیل اغلب برای بازنویسی یک معادله دیفرانسیل $${\frac {dy}{dx}}=g(x)$$ به شکل $$dy=g(x)\,dx,$$ به‌ویژه هنگامی که فرد بخواهد متغیرها را جدا کند، مفید است.

جستارهای وابسته

• نمادگذاری‌های مشتق

منابع

• Boyer, Carl B. (1959), The history of the calculus and its conceptual development, New York: انتشارات داور, MR 0124178.
• Cauchy, Augustin-Louis (1823), Résumé des Leçons données à l'Ecole royale polytechnique sur les applications du calcul infinitésimal, archived from the original on 2007-07-08, retrieved 2009-08-19.
• Courant, Richard (1937), Differential and integral calculus. Vol. I, Wiley Classics Library, New York: جان وایلی و پسران (published 1988), ISBN 978-0-471-60842-4, MR 1009558 {{یادکرد}}: ناسازگاری شابک و تاریخ (کمک).
• Courant, Richard (1937), Differential and integral calculus. Vol. II, Wiley Classics Library, New York: جان وایلی و پسران (published 1988), ISBN 978-0-471-60840-0, MR 1009559 {{یادکرد}}: ناسازگاری شابک و تاریخ (کمک).
• Courant, Richard; John, Fritz (1999), Introduction to Calculus and Analysis Volume 1, Classics in Mathematics, Berlin, New York: اشپرینگر ساینس+بیزینس مدیا, ISBN 3-540-65058-X, MR 1746554
• Eisenbud, David; Harris, Joe (1998), The Geometry of Schemes, اشپرینگر ساینس+بیزینس مدیا, ISBN 0-387-98637-5.
• Fréchet, Maurice (1925), "La notion de différentielle dans l'analyse générale", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 3, 42: 293–323, doi:10.24033/asens.766, ISSN 0012-9593, MR 1509268.
• Goursat, Édouard (1904), A course in mathematical analysis: Vol 1: Derivatives and differentials, definite integrals, expansion in series, applications to geometry, E. R. Hedrick, New York: انتشارات داور (published 1959), MR 0106155.
• Hadamard, Jacques (1935), "La notion de différentiel dans l'enseignement", Mathematical Gazette, XIX (236): 341–342, doi:10.2307/3606323, JSTOR 3606323.
• Hardy, Godfrey Harold (1908), A Course of Pure Mathematics, انتشارات دانشگاه کمبریج, ISBN 978-0-521-09227-2 {{یادکرد}}: ناسازگاری شابک و تاریخ (کمک).
• Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1974), Functional analysis and semi-groups, Providence, R.I.: انجمن ریاضی آمریکا, MR 0423094.
• Itô, Kiyosi (1993), Encyclopedic Dictionary of Mathematics (2nd ed.), انتشارات ام‌آی‌تی, ISBN 978-0-262-59020-4.
• Kline, Morris (1977), "Chapter 13: Differentials and the law of the mean", Calculus: An intuitive and physical approach, جان وایلی و پسران.
• Kline, Morris (1972), Mathematical thought from ancient to modern times (3rd ed.), انتشارات دانشگاه آکسفورد (published 1990), ISBN 978-0-19-506136-9
• Keisler, H. Jerome (1986), Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach (2nd ed.).
• Kock, Anders (2006), Synthetic Differential Geometry (PDF) (2nd ed.), انتشارات دانشگاه کمبریج.
• Moerdijk, I.; Reyes, G.E. (1991), Models for Smooth Infinitesimal Analysis, اشپرینگر ساینس+بیزینس مدیا.
• Robinson, Abraham (1996), Non-standard analysis, انتشارات دانشگاه پرینستون, ISBN 978-0-691-04490-3.
• Tolstov, G.P. (2001) [1994], "Differential", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.

پیوند به بیرون

• دیفرانسیل یک تابع در پروژه نمایش‌های ولفرام