مارپیچگی هیدرودینامیکی

در دینامیک سیالات، مارپیچگی (helicity)، در شرایط مناسب، یک ناوردا برای معادلات اویلر در جریان سیال است و تفسیری توپولوژیک دارد؛ به این معنا که می‌توان آن را معیاری از میزان پیوندخوردگی و/یا گره‌خوردگی خطوط تاوه در جریان دانست. این ویژگی نخستین بار در سال ۱۹۶۱ توسط ژان ژاک مورو اثبات شد. کیت موفات نیز در سال ۱۹۶۹، بی‌اطلاع از مقالهٔ مورو، آن را به دست آورد. این ناوردای مارپیچگی، تعمیمی از قضیه وولتیر برای مارپیچگی مغناطیسی است.

فرض کنیم $\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)$ میدان سرعت و ${\boldsymbol {\omega }}\equiv \nabla \times \mathbf {u}$ میدان متناظر تاوایی باشد. تحت سه شرط زیر، خطوط تاوه همراه جریان جابه‌جا می‌شوند یا به تعبیر رایج «در جریان منجمد» هستند: (۱) سیال ناوُشکسان باشد؛ (۲) جریان یا تراکم‌ناپذیر باشد، یعنی $\nabla \cdot \mathbf {u} =0$، یا در صورت تراکم‌پذیری، رابطه‌ای فشارورد از نوع $p=p(\rho )$ میان فشار p و چگالی ρ برقرار باشد؛ و (۳) همهٔ نیروهای حجمی وارد بر سیال پایستار باشند.

در این شرایط، هر سطح بستهٔ S که بردارهای عمود بر آن بر ورتیسیته عمود باشند، یعنی $\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\omega }}=0$، همراه با جریان جابه‌جا می‌شود.

اگر V حجم درون چنین سطحی باشد، مارپیچگی در V، که با H نشان داده می‌شود، از انتگرال حجمی زیر به دست می‌آید:

$$H=\int _{V}\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dV.$$

برای توزیع موضعی ورتیسیته در سیالی نامحدود، می‌توان V را کل فضا در نظر گرفت؛ در این صورت H مارپیچگی کل جریان است. ناوردایی H از آن رو برقرار است که خطوط تاوه در جریان منجمدند و در نتیجه، میزان پیوندخوردگی و/یا گره‌خوردگی آنها حفظ می‌شود؛ موضوعی که ویلیام تامسون در سال ۱۸۶۸ به آن توجه کرده بود.

مارپیچگی کمیتی شبه‌نرده‌ای است؛ یعنی اگر چارچوب مرجع راست‌دست به چپ‌دست تبدیل شود، علامت آن عوض می‌شود. از این رو می‌توان آن را معیاری برای دست‌سانی جریان دانست. مارپیچگی یکی از چهار ناوردای انتگرالی شناخته‌شدهٔ معادلات اویلر است؛ سه مورد دیگر انرژی، تکانه و تکانه زاویه‌ای هستند.

برای دو لولهٔ تاوه‌ایِ بدون گره که با یکدیگر پیوند خورده‌اند و دارای گردش‌های $\kappa _{1}$ و $\kappa _{2}$ هستند و پیچش درونی ندارند، مارپیچگی از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:

$H=\pm 2n\kappa _{1}\kappa _{2}$

که در آن n عدد پیوند گاوسی دو لوله است و علامت مثبت یا منفی بر حسب راست‌دست یا چپ‌دست بودن پیوند انتخاب می‌شود.

برای یک لولهٔ تاوه‌ایِ گره‌خورده با گردش $\kappa$، چنان‌که کیت موفات و رنزو ال. ریکا در سال ۱۹۹۲ نشان دادند، مارپیچگی برابر است با:

$H=\kappa ^{2}(Wr+Tw)$

که در آن $Wr$ پیچ‌وتاب فضایی و $Tw$ پیچش لوله‌اند. مجموع $Wr+Tw$ تحت تغییرشکل پیوستهٔ لوله ناوردا می‌ماند.

ناوردایی مارپیچگی یکی از پایه‌های اساسی دینامیک سیالات توپولوژیک و مگنتوهیدرودینامیک است؛ حوزه‌هایی که به ویژگی‌های کلی جریان‌ها و ساختارهای توپولوژیک آنها می‌پردازند.

هواشناسی

در هواشناسی، مارپیچگی بیانگر انتقال ورتیسیته از محیط پیرامون به یک بستهٔ هوا در حال حرکت همرفتی است. در این کاربرد، تعریف مارپیچگی ساده‌تر می‌شود و تنها مؤلفهٔ افقی باد و ورتیسیته در نظر گرفته می‌شود و انتگرال نیز فقط در راستای عمودی محاسبه می‌شود. در نتیجه انتگرال حجمی با یک انتگرال یک‌بعدی یا انتگرال خط جایگزین می‌شود:

$$H=\int _{Z_{1}}^{Z_{2}}\mathbf {V} _{h}\cdot {\boldsymbol {\zeta }}_{h}\,dZ=\int _{Z_{1}}^{Z_{2}}\mathbf {V} _{h}\cdot \left(\nabla \times \mathbf {V} _{h}\right)dZ,$$

که در آن:

• $Z$ فرازا است؛
• $\mathbf {V} _{h}$ سرعت افقی است؛
• ${\boldsymbol {\zeta }}_{h}$ ورتیسیتهٔ افقی است.

بر پایهٔ این رابطه، اگر جهت باد افقی با فرازا تغییر نکند، H صفر خواهد بود، زیرا $V_{h}$ و $\nabla \times V_{h}$ بر یکدیگر عمود خواهند بود و ضرب داخلی آنها صفر می‌شود. اگر باد با افزایش ارتفاع در جهت ساعت‌گرد بچرخد، H مثبت و اگر در خلاف آن جهت بچرخد، منفی خواهد بود.

مارپیچگی مورد استفاده در هواشناسی دارای یکای انرژی بر واحد جرم، یعنی [m²/s²]، است و از این رو می‌توان آن را معیاری از انتقال انرژی بر اثر برش باد با ارتفاع، از جمله تغییر جهت باد، دانست.

از این مفهوم برای پیش‌بینی احتمال شکل‌گیری پیچند در یک ابر کومولونیمبوس استفاده می‌شود. در این کاربرد، انتگرال عمودی معمولاً به لایهٔ زیر فراز ابر، اغلب تا حدود ۳ کیلومتر یا ۱۰٬۰۰۰ پا، محدود می‌شود و باد افقی نسبت به حرکت طوفان محاسبه می‌شود:

$$\mathrm {SRH} =\int _{Z_{1}}^{Z_{2}}\left(\mathbf {V} _{h}-\mathbf {C} \right)\cdot \left(\nabla \times \mathbf {V} _{h}\right)\,dZ$$

که در آن $\mathbf {C}$ سرعت حرکت ابر نسبت به سطح زمین است.

مقادیر بحرانی مارپیچگی نسبی طوفان برای شکل‌گیری پیچند، بر پایهٔ پژوهش‌های انجام‌شده در آمریکای شمالی، چنین گزارش شده‌اند:

• SRH = ۱۵۰–۲۹۹: امکان شکل‌گیری طوفان ابرسلولی همراه با پیچندهای ضعیف؛
• SRH = ۳۰۰–۴۹۹: شرایط بسیار مساعد برای شکل‌گیری ابرسلول و پیچندهای نیرومند؛
• SRH > ۴۵۰: احتمال پیچندهای بسیار شدید؛
• اگر محاسبه فقط برای لایهٔ زیر ۱ کیلومتر انجام شود، مقدار آستانه حدود ۱۰۰ در نظر گرفته می‌شود.

مارپیچگی به‌تنهایی تنها عامل شکل‌گیری توفان تندری شدید نیست و این مقادیر باید با احتیاط تفسیر شوند. از همین رو «نمایهٔ انرژی–مارپیچگی» تعریف شده است که حاصل ضرب مارپیچگی نسبی طوفان در انرژی پتانسیل دسترس‌پذیر همرفتی و تقسیم آن بر یک مقدار آستانه است:

$$\mathrm {EHI} ={\frac {\mathrm {CAPE} \times \mathrm {SRH} }{\text{160,000}}}$$

این شاخص افزون بر مارپیچگی، انرژی بستهٔ هوا را نیز در نظر می‌گیرد و می‌کوشد مواردی را که در آنها با وجود مارپیچگی زیاد، پتانسیل شکل‌گیری توفان تندری ضعیف است، حذف کند.

مقادیر بحرانی این شاخص معمولاً چنین در نظر گرفته می‌شوند:

• EHI = ۱: امکان شکل‌گیری پیچند؛
• EHI = ۱–۲: امکان پیچندهای متوسط تا نیرومند؛
• EHI > ۲: امکان پیچندهای نیرومند.

منابع

• جرج بچلر، (۱۹۶۷؛ بازچاپ ۲۰۰۰)، An Introduction to Fluid Dynamics، انتشارات دانشگاه کمبریج.
• Ohkitani, K., Elementary Account Of Vorticity And Related Equations. Cambridge University Press. January 30, 2005. شابک ‎۰−۵۲۱−۸۱۹۸۴−۹
• Chorin, A.J., Vorticity and Turbulence. Applied Mathematical Sciences, Vol 103, Springer-Verlag. March 1, 1994. شابک ‎۰−۳۸۷−۹۴۱۹۷−۵
• Majda, A.J. & Bertozzi, A.L., Vorticity and Incompressible Flow. Cambridge University Press; 1st edition. December 15, 2001. شابک ‎۰−۵۲۱−۶۳۹۴۸−۴
• Tritton, D.J., Physical Fluid Dynamics. Van Nostrand Reinhold, New York. 1977. شابک ‎۰−۱۹−۸۵۴۴۹۳−۶
• Arfken, G., Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Academic Press, Orlando, FL. 1985. شابک ‎۰−۱۲−۰۵۹۸۲۰−۵
• Moffatt, H.K. (1969) The degree of knottedness of tangled vortex lines. J. Fluid Mech. 35, pp. 117–129.
• Moffatt, H.K. & Ricca, R.L. (1992) Helicity and the Cǎlugǎreanu Invariant. Proc. R. Soc. Lond. A 439, pp. 411–429.
• ویلیام تامسون (1868) On vortex motion. Trans. Roy. Soc. Edin. 25, pp. 217–260.

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Hydrodynamical helicity». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۳۰ اوت ۲۰۲۶.